Resolver 4(x-3)^2-28(x-3)=-49

$$4 ( x - 3 ) ^ { 2 } - 28 ( x - 3 ) = - 49$$

Resolver x

$$x = \frac{13}{2} = 6\frac{1}{2} = 6.5$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-3\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}-6x+9\right)-28\left(x-3\right)=-49$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por x^{2}-6x+9.

$$4x^{2}-24x+36-28\left(x-3\right)=-49$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -28 por x-3.

$$4x^{2}-24x+36-28x+84=-49$$

Combina -24x e -28x para obter -52x.

$$4x^{2}-52x+36+84=-49$$

Suma 36 e 84 para obter 120.

$$4x^{2}-52x+120=-49$$

Engadir 49 en ambos lados.

$$4x^{2}-52x+120+49=0$$

Suma 120 e 49 para obter 169.

$$4x^{2}-52x+169=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 4x^{2}+ax+bx+169. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-52 ab=4\times 169=676$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 676.

$$-1,-676 -2,-338 -4,-169 -13,-52 -26,-26$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-676=-677 -2-338=-340 -4-169=-173 -13-52=-65 -26-26=-52$$

A solución é a parella que fornece a suma -52.

$$a=-26 b=-26$$

Reescribe 4x^{2}-52x+169 como \left(4x^{2}-26x\right)+\left(-26x+169\right).

$$\left(4x^{2}-26x\right)+\left(-26x+169\right)$$

Factoriza 2x no primeiro e -13 no grupo segundo.

$$2x\left(2x-13\right)-13\left(2x-13\right)$$

Factoriza o termo común 2x-13 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(2x-13\right)\left(2x-13\right)$$

Reescribe como cadrado de binomio.

$$\left(2x-13\right)^{2}$$

Para atopar a solución de ecuación, resolve 2x-13=0.

$$x=\frac{13}{2}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-3\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}-6x+9\right)-28\left(x-3\right)=-49$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por x^{2}-6x+9.

$$4x^{2}-24x+36-28\left(x-3\right)=-49$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -28 por x-3.

$$4x^{2}-24x+36-28x+84=-49$$

Combina -24x e -28x para obter -52x.

$$4x^{2}-52x+36+84=-49$$

Suma 36 e 84 para obter 120.

$$4x^{2}-52x+120=-49$$

Engadir 49 en ambos lados.

$$4x^{2}-52x+120+49=0$$

Suma 120 e 49 para obter 169.

$$4x^{2}-52x+169=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 4, b por -52 e c por 169 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-52\right)±\sqrt{\left(-52\right)^{2}-4\times 4\times 169}}{2\times 4}$$

Eleva -52 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-52\right)±\sqrt{2704-4\times 4\times 169}}{2\times 4}$$

Multiplica -4 por 4.

$$x=\frac{-\left(-52\right)±\sqrt{2704-16\times 169}}{2\times 4}$$

Multiplica -16 por 169.

$$x=\frac{-\left(-52\right)±\sqrt{2704-2704}}{2\times 4}$$

Suma 2704 a -2704.

$$x=\frac{-\left(-52\right)±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Obtén a raíz cadrada de 0.

$$x=-\frac{-52}{2\times 4}$$

O contrario de -52 é 52.

$$x=\frac{52}{2\times 4}$$

Multiplica 2 por 4.

$$x=\frac{52}{8}$$

Reduce a fracción \frac{52}{8} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$x=\frac{13}{2}$$

Pasos para completar o cadrado

Usar teorema binomial \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} para expandir \left(x-3\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}-6x+9\right)-28\left(x-3\right)=-49$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por x^{2}-6x+9.

$$4x^{2}-24x+36-28\left(x-3\right)=-49$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar -28 por x-3.

$$4x^{2}-24x+36-28x+84=-49$$

Combina -24x e -28x para obter -52x.

$$4x^{2}-52x+36+84=-49$$

Suma 36 e 84 para obter 120.

$$4x^{2}-52x+120=-49$$

Resta 120 en ambos lados.

$$4x^{2}-52x=-49-120$$

Resta 120 de -49 para obter -169.

$$4x^{2}-52x=-169$$

Divide ambos lados entre 4.

$$\frac{4x^{2}-52x}{4}=-\frac{169}{4}$$

A división entre 4 desfai a multiplicación por 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{52}{4}\right)x=-\frac{169}{4}$$

Divide -52 entre 4.

$$x^{2}-13x=-\frac{169}{4}$$

Divide -13, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{13}{2}. Despois, suma o cadrado de -\frac{13}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-\frac{169}{4}+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{13}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{-169+169}{4}$$

Suma -\frac{169}{4} a \frac{169}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=0$$

Factoriza x^{2}-13x+\frac{169}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=0$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifica.

$$x-\frac{13}{2}=0 x-\frac{13}{2}=0$$

Suma \frac{13}{2} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{13}{2} x=\frac{13}{2}$$

A ecuación está resolta. As solucións son iguais.

$$x=\frac{13}{2}$$