Resolver 4(x+1)^2-169=0

$$4 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 169 = 0$$

Resolver x

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5.5$$

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Resta 169 de 4 para obter -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 4x^{2}+ax+bx-165. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=8 ab=4\left(-165\right)=-660$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -660.

$$-1,660 -2,330 -3,220 -4,165 -5,132 -6,110 -10,66 -11,60 -12,55 -15,44 -20,33 -22,30$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+660=659 -2+330=328 -3+220=217 -4+165=161 -5+132=127 -6+110=104 -10+66=56 -11+60=49 -12+55=43 -15+44=29 -20+33=13 -22+30=8$$

A solución é a parella que fornece a suma 8.

$$a=-22 b=30$$

Reescribe 4x^{2}+8x-165 como \left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right).

$$\left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right)$$

Factoriza 2x no primeiro e 15 no grupo segundo.

$$2x\left(2x-11\right)+15\left(2x-11\right)$$

Factoriza o termo común 2x-11 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(2x-11\right)\left(2x+15\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 2x-11=0 e 2x+15=0.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Resta 169 de 4 para obter -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 4, b por 8 e c por -165 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Eleva 8 ao cadrado.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Multiplica -4 por 4.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-16\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Multiplica -16 por -165.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+2640}}{2\times 4}$$

Suma 64 a 2640.

$$x=\frac{-8±\sqrt{2704}}{2\times 4}$$

Obtén a raíz cadrada de 2704.

$$x=\frac{-8±52}{2\times 4}$$

Multiplica 2 por 4.

$$x=\frac{-8±52}{8}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-8±52}{8} se ± é máis. Suma -8 a 52.

$$x=\frac{44}{8}$$

Reduce a fracción \frac{44}{8} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$x=\frac{11}{2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-8±52}{8} se ± é menos. Resta 52 de -8.

$$x=-\frac{60}{8}$$

Reduce a fracción \frac{-60}{8} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$x=-\frac{15}{2}$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Pasos para completar o cadrado

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(x+1\right)^{2}.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 4 por x^{2}+2x+1.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Resta 169 de 4 para obter -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Engadir 165 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$4x^{2}+8x=165$$

Divide ambos lados entre 4.

$$\frac{4x^{2}+8x}{4}=\frac{165}{4}$$

A división entre 4 desfai a multiplicación por 4.

$$x^{2}+\frac{8}{4}x=\frac{165}{4}$$

Divide 8 entre 4.

$$x^{2}+2x=\frac{165}{4}$$

Divide 2, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter 1. Despois, suma o cadrado de 1 en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{165}{4}+1^{2}$$

Eleva 1 ao cadrado.

$$x^{2}+2x+1=\frac{165}{4}+1$$

Suma \frac{165}{4} a 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{169}{4}$$

Factoriza x^{2}+2x+1. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Simplifica.

$$x+1=\frac{13}{2} x+1=-\frac{13}{2}$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$