Resolver 4x^2-4x-15=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-15 = 0$$

Resolver x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2.5$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 4x^{2}+ax+bx-15. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

A solución é a parella que fornece a suma -4.

$$a=-10 b=6$$

Reescribe 4x^{2}-4x-15 como \left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right).

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right)$$

Factoriza 2x no primeiro e 3 no grupo segundo.

$$2x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Factoriza o termo común 2x-5 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 2x-5=0 e 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 4, b por -4 e c por -15 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Eleva -4 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Multiplica -4 por 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Multiplica -16 por -15.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

Suma 16 a 240.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Obtén a raíz cadrada de 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 4}$$

O contrario de -4 é 4.

$$x=\frac{4±16}{2\times 4}$$

Multiplica 2 por 4.

$$x=\frac{4±16}{8}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{4±16}{8} se ± é máis. Suma 4 a 16.

$$x=\frac{20}{8}$$

Reduce a fracción \frac{20}{8} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$x=\frac{5}{2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{4±16}{8} se ± é menos. Resta 16 de 4.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Reduce a fracción \frac{-12}{8} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Suma 15 en ambos lados da ecuación.

$$4x^{2}-4x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Se restas -15 a si mesmo, quédache 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-15\right)$$

Resta -15 de 0.

$$4x^{2}-4x=15$$

Divide ambos lados entre 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{15}{4}$$

A división entre 4 desfai a multiplicación por 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{15}{4}$$

Divide -4 entre 4.

$$x^{2}-x=\frac{15}{4}$$

Divide -1, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{1}{2}. Despois, suma o cadrado de -\frac{1}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15+1}{4}$$

Suma \frac{15}{4} a \frac{1}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4$$

Factoriza x^{2}-x+\frac{1}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Simplifica.

$$x-\frac{1}{2}=2 x-\frac{1}{2}=-2$$

Suma \frac{1}{2} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$