Resolver 4x^2+x+1=0

$$4 { x }^{ 2 } +x+1=0$$

Resolver x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{8}\approx -0.125+0.484122918i$$

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{8}\approx -0.125-0.484122918i$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$4x^{2}+x+1=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 4, b por 1 e c por 1 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Eleva 1 ao cadrado.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 4}}{2\times 4}$$

Multiplica -4 por 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-16}}{2\times 4}$$

Suma 1 a -16.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-15}}{2\times 4}$$

Obtén a raíz cadrada de -15.

$$x=\frac{-1±\sqrt{15}i}{2\times 4}$$

Multiplica 2 por 4.

$$x=\frac{-1±\sqrt{15}i}{8}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-1±\sqrt{15}i}{8} se ± é máis. Suma -1 a i\sqrt{15}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{8}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-1±\sqrt{15}i}{8} se ± é menos. Resta i\sqrt{15} de -1.

$$x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{8}$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{8}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+x+1=0$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$4x^{2}+x+1-1=-1$$

Se restas 1 a si mesmo, quédache 0.

$$4x^{2}+x=-1$$

Divide ambos lados entre 4.

$$\frac{4x^{2}+x}{4}=-\frac{1}{4}$$

A división entre 4 desfai a multiplicación por 4.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Divide \frac{1}{4}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{1}{8}. Despois, suma o cadrado de \frac{1}{8} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{8} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}$$

Suma -\frac{1}{4} a \frac{1}{64} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}=-\frac{15}{64}$$

Factoriza x^{2}+\frac{1}{4}x+\frac{1}{64}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}=-\frac{15}{64}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{64}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{1}{8}=\frac{\sqrt{15}i}{8} x+\frac{1}{8}=-\frac{\sqrt{15}i}{8}$$

Resta \frac{1}{8} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{-1+\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-\sqrt{15}i-1}{8}$$