Resolver 4x^2+4x=3

$$4 { x }^{ 2 } +4x=3$$

Resolver x

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$x=\frac{1}{2}=0.5$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Resta 3 en ambos lados.

$$4x^{2}+4x-3=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 4x^{2}+ax+bx-3. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=4 ab=4\left(-3\right)=-12$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -12.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

A solución é a parella que fornece a suma 4.

$$a=-2 b=6$$

Reescribe 4x^{2}+4x-3 como \left(4x^{2}-2x\right)+\left(6x-3\right).

$$\left(4x^{2}-2x\right)+\left(6x-3\right)$$

Factoriza 2x no primeiro e 3 no grupo segundo.

$$2x\left(2x-1\right)+3\left(2x-1\right)$$

Factoriza o termo común 2x-1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(2x-1\right)\left(2x+3\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 2x-1=0 e 2x+3=0.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$4x^{2}+4x=3$$

Resta 3 en ambos lados da ecuación.

$$4x^{2}+4x-3=3-3$$

Se restas 3 a si mesmo, quédache 0.

$$4x^{2}+4x-3=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 4, b por 4 e c por -3 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Eleva 4 ao cadrado.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Multiplica -4 por 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Multiplica -16 por -3.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+48}}{2\times 4}$$

Suma 16 a 48.

$$x=\frac{-4±\sqrt{64}}{2\times 4}$$

Obtén a raíz cadrada de 64.

$$x=\frac{-4±8}{2\times 4}$$

Multiplica 2 por 4.

$$x=\frac{-4±8}{8}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-4±8}{8} se ± é máis. Suma -4 a 8.

$$x=\frac{4}{8}$$

Reduce a fracción \frac{4}{8} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$x=\frac{1}{2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-4±8}{8} se ± é menos. Resta 8 de -4.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Reduce a fracción \frac{-12}{8} a termos máis baixos extraendo e cancelando 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=3$$

Divide ambos lados entre 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{3}{4}$$

A división entre 4 desfai a multiplicación por 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{3}{4}$$

Divide 4 entre 4.

$$x^{2}+x=\frac{3}{4}$$

Divide 1, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{1}{2}. Despois, suma o cadrado de \frac{1}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{3+1}{4}$$

Suma \frac{3}{4} a \frac{1}{4} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=1$$

Factoriza x^{2}+x+\frac{1}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=1$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Simplifica.

$$x+\frac{1}{2}=1 x+\frac{1}{2}=-1$$

Resta \frac{1}{2} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{1}{2} x=-\frac{3}{2}$$