Resolver 4x^2+4x=120

$$4 { x }^{ 2 } +4x=120$$

Resolver x

$$x=-6$$

$$x=5$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Resta 120 en ambos lados.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Divide ambos lados entre 4.

$$x^{2}+x-30=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como x^{2}+ax+bx-30. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

A solución é a parella que fornece a suma 1.

$$a=-5 b=6$$

Reescribe x^{2}+x-30 como \left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right).

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)$$

Factoriza x no primeiro e 6 no grupo segundo.

$$x\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)$$

Factoriza o termo común x-5 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-5=0 e x+6=0.

$$x=5 x=-6$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$4x^{2}+4x=120$$

Resta 120 en ambos lados da ecuación.

$$4x^{2}+4x-120=120-120$$

Se restas 120 a si mesmo, quédache 0.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 4, b por 4 e c por -120 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Eleva 4 ao cadrado.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Multiplica -4 por 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Multiplica -16 por -120.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

Suma 16 a 1920.

$$x=\frac{-4±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

Obtén a raíz cadrada de 1936.

$$x=\frac{-4±44}{2\times 4}$$

Multiplica 2 por 4.

$$x=\frac{-4±44}{8}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-4±44}{8} se ± é máis. Suma -4 a 44.

$$x=\frac{40}{8}$$

Divide 40 entre 8.

$$x=5$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-4±44}{8} se ± é menos. Resta 44 de -4.

$$x=-\frac{48}{8}$$

Divide -48 entre 8.

$$x=-6$$

A ecuación está resolta.

$$x=5 x=-6$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=120$$

Divide ambos lados entre 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{120}{4}$$

A división entre 4 desfai a multiplicación por 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{120}{4}$$

Divide 4 entre 4.

$$x^{2}+x=\frac{120}{4}$$

Divide 120 entre 4.

$$x^{2}+x=30$$

Divide 1, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{1}{2}. Despois, suma o cadrado de \frac{1}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

Suma 30 a \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

Factoriza x^{2}+x+\frac{1}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

Resta \frac{1}{2} en ambos lados da ecuación.

$$x=5 x=-6$$