Resolver 4t^2+3t=1

$$4 { t }^{ 2 } +3t = 1$$

Resolver t

$$t=-1$$

$$t=\frac{1}{4}=0.25$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Resta 1 en ambos lados.

$$4t^{2}+3t-1=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 4t^{2}+at+bt-1. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=3 ab=4\left(-1\right)=-4$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -4.

$$-1,4 -2,2$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

A solución é a parella que fornece a suma 3.

$$a=-1 b=4$$

Reescribe 4t^{2}+3t-1 como \left(4t^{2}-t\right)+\left(4t-1\right).

$$\left(4t^{2}-t\right)+\left(4t-1\right)$$

Factorizar t en 4t^{2}-t.

$$t\left(4t-1\right)+4t-1$$

Factoriza o termo común 4t-1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(4t-1\right)\left(t+1\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 4t-1=0 e t+1=0.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$4t^{2}+3t=1$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$4t^{2}+3t-1=1-1$$

Se restas 1 a si mesmo, quédache 0.

$$4t^{2}+3t-1=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 4, b por 3 e c por -1 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Eleva 3 ao cadrado.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Multiplica -4 por 4.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Multiplica -16 por -1.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{2\times 4}$$

Suma 9 a 16.

$$t=\frac{-3±\sqrt{25}}{2\times 4}$$

Obtén a raíz cadrada de 25.

$$t=\frac{-3±5}{2\times 4}$$

Multiplica 2 por 4.

$$t=\frac{-3±5}{8}$$

Agora resolve a ecuación t=\frac{-3±5}{8} se ± é máis. Suma -3 a 5.

$$t=\frac{2}{8}$$

Reduce a fracción \frac{2}{8} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$t=\frac{1}{4}$$

Agora resolve a ecuación t=\frac{-3±5}{8} se ± é menos. Resta 5 de -3.

$$t=-\frac{8}{8}$$

Divide -8 entre 8.

$$t=-1$$

A ecuación está resolta.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$4t^{2}+3t=1$$

Divide ambos lados entre 4.

$$\frac{4t^{2}+3t}{4}=\frac{1}{4}$$

A división entre 4 desfai a multiplicación por 4.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t=\frac{1}{4}$$

Divide \frac{3}{4}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{3}{8}. Despois, suma o cadrado de \frac{3}{8} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Eleva \frac{3}{8} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64}=\frac{1}{4}+\frac{9}{64}$$

Suma \frac{1}{4} a \frac{9}{64} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64}=\frac{25}{64}$$

Factoriza t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar coma \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(t+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

Simplifica.

$$t+\frac{3}{8}=\frac{5}{8} t+\frac{3}{8}=-\frac{5}{8}$$

Resta \frac{3}{8} en ambos lados da ecuación.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$