Resolver 39x^2+200x+209

$$39 x ^ { 2 } + 200 x + 209$$

Factorizar

$$\left(3x+11\right)\left(13x+19\right)$$

Pasos da solución

Factoriza a expresión mediante agrupamento. Primeiro, a expresión ten que volver escribirse como 39x^{2}+ax+bx+209. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=200 ab=39\times 209=8151$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 8151.

$$1,8151 3,2717 11,741 13,627 19,429 33,247 39,209 57,143$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+8151=8152 3+2717=2720 11+741=752 13+627=640 19+429=448 33+247=280 39+209=248 57+143=200$$

A solución é a parella que fornece a suma 200.

$$a=57 b=143$$

Reescribe 39x^{2}+200x+209 como \left(39x^{2}+57x\right)+\left(143x+209\right).

$$\left(39x^{2}+57x\right)+\left(143x+209\right)$$

Factoriza 3x no primeiro e 11 no grupo segundo.

$$3x\left(13x+19\right)+11\left(13x+19\right)$$

Factoriza o termo común 13x+19 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(13x+19\right)\left(3x+11\right)$$

Pasos que usan fórmula cadrática

O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$39x^{2}+200x+209=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$x=\frac{-200±\sqrt{200^{2}-4\times 39\times 209}}{2\times 39}$$

Eleva 200 ao cadrado.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-4\times 39\times 209}}{2\times 39}$$

Multiplica -4 por 39.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-156\times 209}}{2\times 39}$$

Multiplica -156 por 209.

$$x=\frac{-200±\sqrt{40000-32604}}{2\times 39}$$

Suma 40000 a -32604.

$$x=\frac{-200±\sqrt{7396}}{2\times 39}$$

Obtén a raíz cadrada de 7396.

$$x=\frac{-200±86}{2\times 39}$$

Multiplica 2 por 39.

$$x=\frac{-200±86}{78}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-200±86}{78} se ± é máis. Suma -200 a 86.

$$x=-\frac{114}{78}$$

Reduce a fracción \frac{-114}{78} a termos máis baixos extraendo e cancelando 6.

$$x=-\frac{19}{13}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-200±86}{78} se ± é menos. Resta 86 de -200.

$$x=-\frac{286}{78}$$

Reduce a fracción \frac{-286}{78} a termos máis baixos extraendo e cancelando 26.

$$x=-\frac{11}{3}$$

Factoriza a expresión orixinal usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitúe -\frac{19}{13} por x_{1} e -\frac{11}{3} por x_{2}.

$$39x^{2}+200x+209=39\left(x-\left(-\frac{19}{13}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{11}{3}\right)\right)$$

Simplifica todas as expresións do formulario p-\left(-q\right) a p+q.

$$39x^{2}+200x+209=39\left(x+\frac{19}{13}\right)\left(x+\frac{11}{3}\right)$$

Suma \frac{19}{13} a x mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$39x^{2}+200x+209=39\times \frac{13x+19}{13}\left(x+\frac{11}{3}\right)$$

Suma \frac{11}{3} a x mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$39x^{2}+200x+209=39\times \frac{13x+19}{13}\times \frac{3x+11}{3}$$

Multiplica \frac{13x+19}{13} por \frac{3x+11}{3} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$39x^{2}+200x+209=39\times \frac{\left(13x+19\right)\left(3x+11\right)}{13\times 3}$$

Multiplica 13 por 3.

$$39x^{2}+200x+209=39\times \frac{\left(13x+19\right)\left(3x+11\right)}{39}$$

Descarta o máximo común divisor 39 en 39 e 39.

$$39x^{2}+200x+209=\left(13x+19\right)\left(3x+11\right)$$

Calcular

$$\left(3x+11\right)\left(13x+19\right)$$