Resolver 30x+21x^2=3384

$$30 x + 21 x ^ { 2 } = 3384$$

Resolver x

$$x = -\frac{94}{7} = -13\frac{3}{7} \approx -13.428571429$$

$$x=12$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Resta 3384 en ambos lados.

$$30x+21x^{2}-3384=0$$

Divide ambos lados entre 3.

$$10x+7x^{2}-1128=0$$

Reorganiza polinomio para convertelo a forma estándar. Coloca os termos por orde de maior a menor potencia.

$$7x^{2}+10x-1128=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 7x^{2}+ax+bx-1128. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=10 ab=7\left(-1128\right)=-7896$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -7896.

$$-1,7896 -2,3948 -3,2632 -4,1974 -6,1316 -7,1128 -8,987 -12,658 -14,564 -21,376 -24,329 -28,282 -42,188 -47,168 -56,141 -84,94$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+7896=7895 -2+3948=3946 -3+2632=2629 -4+1974=1970 -6+1316=1310 -7+1128=1121 -8+987=979 -12+658=646 -14+564=550 -21+376=355 -24+329=305 -28+282=254 -42+188=146 -47+168=121 -56+141=85 -84+94=10$$

A solución é a parella que fornece a suma 10.

$$a=-84 b=94$$

Reescribe 7x^{2}+10x-1128 como \left(7x^{2}-84x\right)+\left(94x-1128\right).

$$\left(7x^{2}-84x\right)+\left(94x-1128\right)$$

Factoriza 7x no primeiro e 94 no grupo segundo.

$$7x\left(x-12\right)+94\left(x-12\right)$$

Factoriza o termo común x-12 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-12\right)\left(7x+94\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-12=0 e 7x+94=0.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$21x^{2}+30x=3384$$

Resta 3384 en ambos lados da ecuación.

$$21x^{2}+30x-3384=3384-3384$$

Se restas 3384 a si mesmo, quédache 0.

$$21x^{2}+30x-3384=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 21, b por 30 e c por -3384 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 21\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

Eleva 30 ao cadrado.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 21\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

Multiplica -4 por 21.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-84\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

Multiplica -84 por -3384.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+284256}}{2\times 21}$$

Suma 900 a 284256.

$$x=\frac{-30±\sqrt{285156}}{2\times 21}$$

Obtén a raíz cadrada de 285156.

$$x=\frac{-30±534}{2\times 21}$$

Multiplica 2 por 21.

$$x=\frac{-30±534}{42}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-30±534}{42} se ± é máis. Suma -30 a 534.

$$x=\frac{504}{42}$$

Divide 504 entre 42.

$$x=12$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-30±534}{42} se ± é menos. Resta 534 de -30.

$$x=-\frac{564}{42}$$

Reduce a fracción \frac{-564}{42} a termos máis baixos extraendo e cancelando 6.

$$x=-\frac{94}{7}$$

A ecuación está resolta.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$21x^{2}+30x=3384$$

Divide ambos lados entre 21.

$$\frac{21x^{2}+30x}{21}=\frac{3384}{21}$$

A división entre 21 desfai a multiplicación por 21.

$$x^{2}+\frac{30}{21}x=\frac{3384}{21}$$

Reduce a fracción \frac{30}{21} a termos máis baixos extraendo e cancelando 3.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x=\frac{3384}{21}$$

Reduce a fracción \frac{3384}{21} a termos máis baixos extraendo e cancelando 3.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x=\frac{1128}{7}$$

Divide \frac{10}{7}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{5}{7}. Despois, suma o cadrado de \frac{5}{7} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{1128}{7}+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}$$

Eleva \frac{5}{7} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{1128}{7}+\frac{25}{49}$$

Suma \frac{1128}{7} a \frac{25}{49} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{7921}{49}$$

Factoriza x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{7921}{49}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{49}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{5}{7}=\frac{89}{7} x+\frac{5}{7}=-\frac{89}{7}$$

Resta \frac{5}{7} en ambos lados da ecuación.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$