Resolver 30t=225(t+10)^2

$$30 t = 225 ( t + 10 ) ^ { 2 }$$

Resolver t

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}\approx -9.933333333+1.152774431i$$

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}\approx -9.933333333-1.152774431i$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(t+10\right)^{2}.

$$30t=225\left(t^{2}+20t+100\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 225 por t^{2}+20t+100.

$$30t=225t^{2}+4500t+22500$$

Resta 225t^{2} en ambos lados.

$$30t-225t^{2}=4500t+22500$$

Resta 4500t en ambos lados.

$$30t-225t^{2}-4500t=22500$$

Combina 30t e -4500t para obter -4470t.

$$-4470t-225t^{2}=22500$$

Resta 22500 en ambos lados.

$$-4470t-225t^{2}-22500=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$-225t^{2}-4470t-22500=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por -225, b por -4470 e c por -22500 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{\left(-4470\right)^{2}-4\left(-225\right)\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Eleva -4470 ao cadrado.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900-4\left(-225\right)\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Multiplica -4 por -225.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900+900\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Multiplica 900 por -22500.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900-20250000}}{2\left(-225\right)}$$

Suma 19980900 a -20250000.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{-269100}}{2\left(-225\right)}$$

Obtén a raíz cadrada de -269100.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±30\sqrt{299}i}{2\left(-225\right)}$$

O contrario de -4470 é 4470.

$$t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{2\left(-225\right)}$$

Multiplica 2 por -225.

$$t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450}$$

Agora resolve a ecuación t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450} se ± é máis. Suma 4470 a 30i\sqrt{299}.

$$t=\frac{4470+30\sqrt{299}i}{-450}$$

Divide 4470+30i\sqrt{299} entre -450.

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}$$

Agora resolve a ecuación t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450} se ± é menos. Resta 30i\sqrt{299} de 4470.

$$t=\frac{-30\sqrt{299}i+4470}{-450}$$

Divide 4470-30i\sqrt{299} entre -450.

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}$$

A ecuación está resolta.

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15} t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}$$

Pasos para completar o cadrado

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(t+10\right)^{2}.

$$30t=225\left(t^{2}+20t+100\right)$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 225 por t^{2}+20t+100.

$$30t=225t^{2}+4500t+22500$$

Resta 225t^{2} en ambos lados.

$$30t-225t^{2}=4500t+22500$$

Resta 4500t en ambos lados.

$$30t-225t^{2}-4500t=22500$$

Combina 30t e -4500t para obter -4470t.

$$-4470t-225t^{2}=22500$$

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$-225t^{2}-4470t=22500$$

Divide ambos lados entre -225.

$$\frac{-225t^{2}-4470t}{-225}=\frac{22500}{-225}$$

A división entre -225 desfai a multiplicación por -225.

$$t^{2}+\left(-\frac{4470}{-225}\right)t=\frac{22500}{-225}$$

Reduce a fracción \frac{-4470}{-225} a termos máis baixos extraendo e cancelando 15.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t=\frac{22500}{-225}$$

Divide 22500 entre -225.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t=-100$$

Divide \frac{298}{15}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{149}{15}. Despois, suma o cadrado de \frac{149}{15} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\left(\frac{149}{15}\right)^{2}=-100+\left(\frac{149}{15}\right)^{2}$$

Eleva \frac{149}{15} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}=-100+\frac{22201}{225}$$

Suma -100 a \frac{22201}{225}.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}=-\frac{299}{225}$$

Factoriza t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{149}{15}\right)^{2}=-\frac{299}{225}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(t+\frac{149}{15}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{299}{225}}$$

Simplifica.

$$t+\frac{149}{15}=\frac{\sqrt{299}i}{15} t+\frac{149}{15}=-\frac{\sqrt{299}i}{15}$$

Resta \frac{149}{15} en ambos lados da ecuación.

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15} t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}$$