Resolver 3y^2+y-7=0

$$3 y ^ { 2 } + y - 7 = 0$$

Resolver y

$$y = \frac{\sqrt{85} - 1}{6} \approx 1.369924076$$

$$y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}\approx -1.70325741$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$3y^{2}+y-7=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 3, b por 1 e c por -7 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Eleva 1 ao cadrado.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 3\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Multiplica -4 por 3.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1-12\left(-7\right)}}{2\times 3}$$

Multiplica -12 por -7.

$$y=\frac{-1±\sqrt{1+84}}{2\times 3}$$

Suma 1 a 84.

$$y=\frac{-1±\sqrt{85}}{2\times 3}$$

Multiplica 2 por 3.

$$y=\frac{-1±\sqrt{85}}{6}$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{-1±\sqrt{85}}{6} se ± é máis. Suma -1 a \sqrt{85}.

$$y=\frac{\sqrt{85}-1}{6}$$

Agora resolve a ecuación y=\frac{-1±\sqrt{85}}{6} se ± é menos. Resta \sqrt{85} de -1.

$$y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}$$

A ecuación está resolta.

$$y=\frac{\sqrt{85}-1}{6} y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$3y^{2}+y-7=0$$

Suma 7 en ambos lados da ecuación.

$$3y^{2}+y-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Se restas -7 a si mesmo, quédache 0.

$$3y^{2}+y=-\left(-7\right)$$

Resta -7 de 0.

$$3y^{2}+y=7$$

Divide ambos lados entre 3.

$$\frac{3y^{2}+y}{3}=\frac{7}{3}$$

A división entre 3 desfai a multiplicación por 3.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y=\frac{7}{3}$$

Divide \frac{1}{3}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{1}{6}. Despois, suma o cadrado de \frac{1}{6} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{7}{3}+\left(\frac{1}{6}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{6} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{7}{3}+\frac{1}{36}$$

Suma \frac{7}{3} a \frac{1}{36} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y^{2}+\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}=\frac{85}{36}$$

Factoriza y^{2}+\frac{1}{3}y+\frac{1}{36}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{1}{6}\right)^{2}=\frac{85}{36}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{85}{36}}$$

Simplifica.

$$y+\frac{1}{6}=\frac{\sqrt{85}}{6} y+\frac{1}{6}=-\frac{\sqrt{85}}{6}$$

Resta \frac{1}{6} en ambos lados da ecuación.

$$y=\frac{\sqrt{85}-1}{6} y=\frac{-\sqrt{85}-1}{6}$$