Resolver 3x-6x^2=-108

$$3 x - 6 x ^ { 2 } = - 108$$

Resolver x

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

$$x=-4$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Engadir 108 en ambos lados.

$$3x-6x^{2}+108=0$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x-2x^{2}+36=0$$

Reorganiza polinomio para convertelo a forma estándar. Coloca os termos por orde de maior a menor potencia.

$$-2x^{2}+x+36=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como -2x^{2}+ax+bx+36. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=1 ab=-2\times 36=-72$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -72.

$$-1,72 -2,36 -3,24 -4,18 -6,12 -8,9$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+72=71 -2+36=34 -3+24=21 -4+18=14 -6+12=6 -8+9=1$$

A solución é a parella que fornece a suma 1.

$$a=9 b=-8$$

Reescribe -2x^{2}+x+36 como \left(-2x^{2}+9x\right)+\left(-8x+36\right).

$$\left(-2x^{2}+9x\right)+\left(-8x+36\right)$$

Factoriza -x no primeiro e -4 no grupo segundo.

$$-x\left(2x-9\right)-4\left(2x-9\right)$$

Factoriza o termo común 2x-9 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(2x-9\right)\left(-x-4\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 2x-9=0 e -x-4=0.

$$x=\frac{9}{2} x=-4$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$-6x^{2}+3x=-108$$

Suma 108 en ambos lados da ecuación.

$$-6x^{2}+3x-\left(-108\right)=-108-\left(-108\right)$$

Se restas -108 a si mesmo, quédache 0.

$$-6x^{2}+3x-\left(-108\right)=0$$

Resta -108 de 0.

$$-6x^{2}+3x+108=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por -6, b por 3 e c por 108 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-6\right)\times 108}}{2\left(-6\right)}$$

Eleva 3 ao cadrado.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-6\right)\times 108}}{2\left(-6\right)}$$

Multiplica -4 por -6.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+24\times 108}}{2\left(-6\right)}$$

Multiplica 24 por 108.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+2592}}{2\left(-6\right)}$$

Suma 9 a 2592.

$$x=\frac{-3±\sqrt{2601}}{2\left(-6\right)}$$

Obtén a raíz cadrada de 2601.

$$x=\frac{-3±51}{2\left(-6\right)}$$

Multiplica 2 por -6.

$$x=\frac{-3±51}{-12}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-3±51}{-12} se ± é máis. Suma -3 a 51.

$$x=\frac{48}{-12}$$

Divide 48 entre -12.

$$x=-4$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-3±51}{-12} se ± é menos. Resta 51 de -3.

$$x=-\frac{54}{-12}$$

Reduce a fracción \frac{-54}{-12} a termos máis baixos extraendo e cancelando 6.

$$x=\frac{9}{2}$$

A ecuación está resolta.

$$x=-4 x=\frac{9}{2}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$-6x^{2}+3x=-108$$

Divide ambos lados entre -6.

$$\frac{-6x^{2}+3x}{-6}=-\frac{108}{-6}$$

A división entre -6 desfai a multiplicación por -6.

$$x^{2}+\frac{3}{-6}x=-\frac{108}{-6}$$

Reduce a fracción \frac{3}{-6} a termos máis baixos extraendo e cancelando 3.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-\frac{108}{-6}$$

Divide -108 entre -6.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=18$$

Divide -\frac{1}{2}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{1}{4}. Despois, suma o cadrado de -\frac{1}{4} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=18+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{4} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=18+\frac{1}{16}$$

Suma 18 a \frac{1}{16}.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{289}{16}$$

Factoriza x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{289}{16}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{16}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{17}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{17}{4}$$

Suma \frac{1}{4} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{9}{2} x=-4$$