Resolver 3x-5y=4;9x-2y=7

$$3 x - 5 y = 4 ; 9 x - 2 y = 7$$

Resolver x, y

$$x=\frac{9}{13}\approx 0.692307692$$

$$y=-\frac{5}{13}\approx -0.384615385$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-5y=4$$

Suma 5y en ambos lados da ecuación.

$$3x=5y+4$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por 5y+4.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Substitúe x por \frac{5y+4}{3} na outra ecuación, 9x-2y=7.

$$9\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)-2y=7$$

Multiplica 9 por \frac{5y+4}{3}.

$$15y+12-2y=7$$

Suma 15y a -2y.

$$13y+12=7$$

Resta 12 en ambos lados da ecuación.

$$13y=-5$$

Divide ambos lados entre 13.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Substitúe y por -\frac{5}{13} en x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{5}{13}\right)+\frac{4}{3}$$

Multiplica \frac{5}{3} por -\frac{5}{13} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{4}{3}$$

Suma \frac{4}{3} a -\frac{25}{39} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{9}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}\times 4+\frac{5}{39}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 4+\frac{1}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{13}\\-\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Para que 3x e 9x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 9 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$9\times 3x+9\left(-5\right)y=9\times 4,3\times 9x+3\left(-2\right)y=3\times 7$$

Simplifica.

$$27x-45y=36,27x-6y=21$$

Resta 27x-6y=21 de 27x-45y=36 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$27x-27x-45y+6y=36-21$$

Suma 27x a -27x. 27x e -27x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-45y+6y=36-21$$

Suma -45y a 6y.

$$-39y=36-21$$

Suma 36 a -21.

$$-39y=15$$

Divide ambos lados entre -39.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Substitúe y por -\frac{5}{13} en 9x-2y=7. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$9x-2\left(-\frac{5}{13}\right)=7$$

Multiplica -2 por -\frac{5}{13}.

$$9x+\frac{10}{13}=7$$

Resta \frac{10}{13} en ambos lados da ecuación.

$$9x=\frac{81}{13}$$

Divide ambos lados entre 9.

$$x=\frac{9}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$