Resolver 3x^2-32x+84=0

$$3 x ^ { 2 } - 32 x + 84 = 0$$

Resolver x

$$x=6$$

$$x = \frac{14}{3} = 4\frac{2}{3} \approx 4.666666667$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 3x^{2}+ax+bx+84. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-32 ab=3\times 84=252$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 252.

$$-1,-252 -2,-126 -3,-84 -4,-63 -6,-42 -7,-36 -9,-28 -12,-21 -14,-18$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-252=-253 -2-126=-128 -3-84=-87 -4-63=-67 -6-42=-48 -7-36=-43 -9-28=-37 -12-21=-33 -14-18=-32$$

A solución é a parella que fornece a suma -32.

$$a=-18 b=-14$$

Reescribe 3x^{2}-32x+84 como \left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(-14x+84\right)$$

Factoriza 3x no primeiro e -14 no grupo segundo.

$$3x\left(x-6\right)-14\left(x-6\right)$$

Factoriza o termo común x-6 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-6\right)\left(3x-14\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-6=0 e 3x-14=0.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 3, b por -32 e c por 84 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Eleva -32 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 3\times 84}}{2\times 3}$$

Multiplica -4 por 3.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-12\times 84}}{2\times 3}$$

Multiplica -12 por 84.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1008}}{2\times 3}$$

Suma 1024 a -1008.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{16}}{2\times 3}$$

Obtén a raíz cadrada de 16.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±4}{2\times 3}$$

O contrario de -32 é 32.

$$x=\frac{32±4}{2\times 3}$$

Multiplica 2 por 3.

$$x=\frac{32±4}{6}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{32±4}{6} se ± é máis. Suma 32 a 4.

$$x=\frac{36}{6}$$

Divide 36 entre 6.

$$x=6$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{32±4}{6} se ± é menos. Resta 4 de 32.

$$x=\frac{28}{6}$$

Reduce a fracción \frac{28}{6} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=\frac{14}{3}$$

A ecuación está resolta.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-32x+84=0$$

Resta 84 en ambos lados da ecuación.

$$3x^{2}-32x+84-84=-84$$

Se restas 84 a si mesmo, quédache 0.

$$3x^{2}-32x=-84$$

Divide ambos lados entre 3.

$$\frac{3x^{2}-32x}{3}=-\frac{84}{3}$$

A división entre 3 desfai a multiplicación por 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-\frac{84}{3}$$

Divide -84 entre 3.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x=-28$$

Divide -\frac{32}{3}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{16}{3}. Despois, suma o cadrado de -\frac{16}{3} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}=-28+\left(-\frac{16}{3}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{16}{3} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=-28+\frac{256}{9}$$

Suma -28 a \frac{256}{9}.

$$x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}=\frac{4}{9}$$

Factoriza x^{2}-\frac{32}{3}x+\frac{256}{9}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{16}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{16}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{16}{3}=-\frac{2}{3}$$

Suma \frac{16}{3} en ambos lados da ecuación.

$$x=6 x=\frac{14}{3}$$