Resolver 3x^2-2x-16=0

$$3 x ^ { 2 } - 2 x - 16 = 0$$

Resolver x

$$x=-2$$

$$x = \frac{8}{3} = 2\frac{2}{3} \approx 2.666666667$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 3x^{2}+ax+bx-16. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-2 ab=3\left(-16\right)=-48$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -48.

$$1,-48 2,-24 3,-16 4,-12 6,-8$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-48=-47 2-24=-22 3-16=-13 4-12=-8 6-8=-2$$

A solución é a parella que fornece a suma -2.

$$a=-8 b=6$$

Reescribe 3x^{2}-2x-16 como \left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right).

$$\left(3x^{2}-8x\right)+\left(6x-16\right)$$

Factoriza x no primeiro e 2 no grupo segundo.

$$x\left(3x-8\right)+2\left(3x-8\right)$$

Factoriza o termo común 3x-8 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(3x-8\right)\left(x+2\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 3x-8=0 e x+2=0.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 3, b por -2 e c por -16 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Eleva -2 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 3\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Multiplica -4 por 3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-12\left(-16\right)}}{2\times 3}$$

Multiplica -12 por -16.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+192}}{2\times 3}$$

Suma 4 a 192.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Obtén a raíz cadrada de 196.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±14}{2\times 3}$$

O contrario de -2 é 2.

$$x=\frac{2±14}{2\times 3}$$

Multiplica 2 por 3.

$$x=\frac{2±14}{6}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{2±14}{6} se ± é máis. Suma 2 a 14.

$$x=\frac{16}{6}$$

Reduce a fracción \frac{16}{6} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=\frac{8}{3}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{2±14}{6} se ± é menos. Resta 14 de 2.

$$x=-\frac{12}{6}$$

Divide -12 entre 6.

$$x=-2$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-2x-16=0$$

Suma 16 en ambos lados da ecuación.

$$3x^{2}-2x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Se restas -16 a si mesmo, quédache 0.

$$3x^{2}-2x=-\left(-16\right)$$

Resta -16 de 0.

$$3x^{2}-2x=16$$

Divide ambos lados entre 3.

$$\frac{3x^{2}-2x}{3}=\frac{16}{3}$$

A división entre 3 desfai a multiplicación por 3.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{16}{3}$$

Divide -\frac{2}{3}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{1}{3}. Despois, suma o cadrado de -\frac{1}{3} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{16}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{3} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{16}{3}+\frac{1}{9}$$

Suma \frac{16}{3} a \frac{1}{9} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{49}{9}$$

Factoriza x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{7}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{7}{3}$$

Suma \frac{1}{3} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{8}{3} x=-2$$