Resolver 3x^2-16x+16=0

$$3 x ^ { 2 } - 16 x + 16 = 0$$

Resolver x

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1.333333333$$

$$x=4$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 3x^{2}+ax+bx+16. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-16 ab=3\times 16=48$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 48.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

A solución é a parella que fornece a suma -16.

$$a=-12 b=-4$$

Reescribe 3x^{2}-16x+16 como \left(3x^{2}-12x\right)+\left(-4x+16\right).

$$\left(3x^{2}-12x\right)+\left(-4x+16\right)$$

Factoriza 3x no primeiro e -4 no grupo segundo.

$$3x\left(x-4\right)-4\left(x-4\right)$$

Factoriza o termo común x-4 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-4\right)\left(3x-4\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-4=0 e 3x-4=0.

$$x=4 x=\frac{4}{3}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$3x^{2}-16x+16=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 3, b por -16 e c por 16 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{\left(-16\right)^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Eleva -16 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Multiplica -4 por 3.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-12\times 16}}{2\times 3}$$

Multiplica -12 por 16.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{256-192}}{2\times 3}$$

Suma 256 a -192.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±\sqrt{64}}{2\times 3}$$

Obtén a raíz cadrada de 64.

$$x=\frac{-\left(-16\right)±8}{2\times 3}$$

O contrario de -16 é 16.

$$x=\frac{16±8}{2\times 3}$$

Multiplica 2 por 3.

$$x=\frac{16±8}{6}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{16±8}{6} se ± é máis. Suma 16 a 8.

$$x=\frac{24}{6}$$

Divide 24 entre 6.

$$x=4$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{16±8}{6} se ± é menos. Resta 8 de 16.

$$x=\frac{8}{6}$$

Reduce a fracción \frac{8}{6} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=\frac{4}{3}$$

A ecuación está resolta.

$$x=4 x=\frac{4}{3}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-16x+16=0$$

Resta 16 en ambos lados da ecuación.

$$3x^{2}-16x+16-16=-16$$

Se restas 16 a si mesmo, quédache 0.

$$3x^{2}-16x=-16$$

Divide ambos lados entre 3.

$$\frac{3x^{2}-16x}{3}=-\frac{16}{3}$$

A división entre 3 desfai a multiplicación por 3.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x=-\frac{16}{3}$$

Divide -\frac{16}{3}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{8}{3}. Despois, suma o cadrado de -\frac{8}{3} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{8}{3} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=-\frac{16}{3}+\frac{64}{9}$$

Suma -\frac{16}{3} a \frac{64}{9} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{16}{9}$$

Factoriza x^{2}-\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{16}{9}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{9}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{8}{3}=\frac{4}{3} x-\frac{8}{3}=-\frac{4}{3}$$

Suma \frac{8}{3} en ambos lados da ecuación.

$$x=4 x=\frac{4}{3}$$