Resolver 3x^2+2x+1=0

$$3 x ^ { 2 } + 2 x + 1 = 0$$

Resolver x (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}\approx -0.333333333+0.471404521i$$

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}\approx -0.333333333-0.471404521i$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 3, b por 2 e c por 1 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3}}{2\times 3}$$

Eleva 2 ao cadrado.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3}}{2\times 3}$$

Multiplica -4 por 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12}}{2\times 3}$$

Suma 4 a -12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2\times 3}$$

Obtén a raíz cadrada de -8.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2\times 3}$$

Multiplica 2 por 3.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} se ± é máis. Suma -2 a 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{6}$$

Divide -2+2i\sqrt{2} entre 6.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{6} se ± é menos. Resta 2i\sqrt{2} de -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-2}{6}$$

Divide -2-2i\sqrt{2} entre 6.

$$x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+2x+1=0$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$3x^{2}+2x+1-1=-1$$

Se restas 1 a si mesmo, quédache 0.

$$3x^{2}+2x=-1$$

Divide ambos lados entre 3.

$$\frac{3x^{2}+2x}{3}=-\frac{1}{3}$$

A división entre 3 desfai a multiplicación por 3.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x=-\frac{1}{3}$$

Divide \frac{2}{3}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{1}{3}. Despois, suma o cadrado de \frac{1}{3} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{3} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Suma -\frac{1}{3} a \frac{1}{9} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=-\frac{2}{9}$$

Factoriza x^{2}+\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{2}{9}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{1}{3}=\frac{\sqrt{2}i}{3} x+\frac{1}{3}=-\frac{\sqrt{2}i}{3}$$

Resta \frac{1}{3} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{-1+\sqrt{2}i}{3} x=\frac{-\sqrt{2}i-1}{3}$$