Resolver 3x^2+16x-12=0

$$3 x ^ { 2 } + 16 x - 12 = 0$$

Resolver x

$$x=-6$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 3x^{2}+ax+bx-12. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=16 ab=3\left(-12\right)=-36$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -36.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

A solución é a parella que fornece a suma 16.

$$a=-2 b=18$$

Reescribe 3x^{2}+16x-12 como \left(3x^{2}-2x\right)+\left(18x-12\right).

$$\left(3x^{2}-2x\right)+\left(18x-12\right)$$

Factoriza x no primeiro e 6 no grupo segundo.

$$x\left(3x-2\right)+6\left(3x-2\right)$$

Factoriza o termo común 3x-2 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(3x-2\right)\left(x+6\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 3x-2=0 e x+6=0.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$3x^{2}+16x-12=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 3, b por 16 e c por -12 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Eleva 16 ao cadrado.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 3\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Multiplica -4 por 3.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256-12\left(-12\right)}}{2\times 3}$$

Multiplica -12 por -12.

$$x=\frac{-16±\sqrt{256+144}}{2\times 3}$$

Suma 256 a 144.

$$x=\frac{-16±\sqrt{400}}{2\times 3}$$

Obtén a raíz cadrada de 400.

$$x=\frac{-16±20}{2\times 3}$$

Multiplica 2 por 3.

$$x=\frac{-16±20}{6}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-16±20}{6} se ± é máis. Suma -16 a 20.

$$x=\frac{4}{6}$$

Reduce a fracción \frac{4}{6} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=\frac{2}{3}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-16±20}{6} se ± é menos. Resta 20 de -16.

$$x=-\frac{36}{6}$$

Divide -36 entre 6.

$$x=-6$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+16x-12=0$$

Suma 12 en ambos lados da ecuación.

$$3x^{2}+16x-12-\left(-12\right)=-\left(-12\right)$$

Se restas -12 a si mesmo, quédache 0.

$$3x^{2}+16x=-\left(-12\right)$$

Resta -12 de 0.

$$3x^{2}+16x=12$$

Divide ambos lados entre 3.

$$\frac{3x^{2}+16x}{3}=\frac{12}{3}$$

A división entre 3 desfai a multiplicación por 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=\frac{12}{3}$$

Divide 12 entre 3.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x=4$$

Divide \frac{16}{3}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{8}{3}. Despois, suma o cadrado de \frac{8}{3} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}=4+\left(\frac{8}{3}\right)^{2}$$

Eleva \frac{8}{3} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=4+\frac{64}{9}$$

Suma 4 a \frac{64}{9}.

$$x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}=\frac{100}{9}$$

Factoriza x^{2}+\frac{16}{3}x+\frac{64}{9}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{8}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{8}{3}=\frac{10}{3} x+\frac{8}{3}=-\frac{10}{3}$$

Resta \frac{8}{3} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{2}{3} x=-6$$