Resolver 3x+9=6ytext{and}-2x-2y-12=0

$$3 x + 9 = 6 y \text { and } - 2 x - 2 y - 12 = 0$$

Resolver x, y

$$x=-5$$

$$y=-1$$

Pasos que usan substitución

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 6y en ambos lados.

$$3x+9-6y=0$$

Resta 9 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$3x-6y=-9$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 12 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$-2x-2y=12$$

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x-6y=-9$$

Suma 6y en ambos lados da ecuación.

$$3x=6y-9$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(6y-9\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por 6y-9.

$$x=2y-3$$

Substitúe x por 2y-3 na outra ecuación, -2x-2y=12.

$$-2\left(2y-3\right)-2y=12$$

Multiplica -2 por 2y-3.

$$-4y+6-2y=12$$

Suma -4y a -2y.

$$-6y+6=12$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$-6y=6$$

Divide ambos lados entre -6.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en x=2y-3. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=2\left(-1\right)-3$$

Multiplica 2 por -1.

$$x=-2-3$$

Suma -3 a -2.

$$x=-5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-5,y=-1$$

Pasos que usan matrices

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 6y en ambos lados.

$$3x+9-6y=0$$

Resta 9 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$3x-6y=-9$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 12 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$-2x-2y=12$$

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-6\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&-\frac{-6}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-6\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{9}&-\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\12\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{3}\times 12\\-\frac{1}{9}\left(-9\right)-\frac{1}{6}\times 12\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\-1\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-5,y=-1$$

Pasos que usan eliminación

Ten en conta a primeira ecuación. Resta 6y en ambos lados.

$$3x+9-6y=0$$

Resta 9 en ambos lados. Calquera valor restado de cero dá como resultado o valor negativo.

$$3x-6y=-9$$

Ten en conta a segunda ecuación. Engadir 12 en ambos lados. Calquera valor máis cero é igual ao valor.

$$-2x-2y=12$$

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x-6y=-9,-2x-2y=12$$

Para que 3x e -2x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por -2 e todos os termos a cada lado da segunda por 3.

$$-2\times 3x-2\left(-6\right)y=-2\left(-9\right),3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\times 12$$

Simplifica.

$$-6x+12y=18,-6x-6y=36$$

Resta -6x-6y=36 de -6x+12y=18 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$-6x+6x+12y+6y=18-36$$

Suma -6x a 6x. -6x e 6x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$12y+6y=18-36$$

Suma 12y a 6y.

$$18y=18-36$$

Suma 18 a -36.

$$18y=-18$$

Divide ambos lados entre 18.

$$y=-1$$

Substitúe y por -1 en -2x-2y=12. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$-2x-2\left(-1\right)=12$$

Multiplica -2 por -1.

$$-2x+2=12$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$-2x=10$$

Divide ambos lados entre -2.

$$x=-5$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-5,y=-1$$