Resolver 3x+10y=102,3x+7y=84

$$3 x + 10 y = 102,3 x + 7 y = 84$$

Resolver x, y

$$x=14$$

$$y=6$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$3x+10y=102,3x+7y=84$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$3x+10y=102$$

Resta 10y en ambos lados da ecuación.

$$3x=-10y+102$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(-10y+102\right)$$

Multiplica \frac{1}{3} por -10y+102.

$$x=-\frac{10}{3}y+34$$

Substitúe x por -\frac{10y}{3}+34 na outra ecuación, 3x+7y=84.

$$3\left(-\frac{10}{3}y+34\right)+7y=84$$

Multiplica 3 por -\frac{10y}{3}+34.

$$-10y+102+7y=84$$

Suma -10y a 7y.

$$-3y+102=84$$

Resta 102 en ambos lados da ecuación.

$$-3y=-18$$

Divide ambos lados entre -3.

$$y=6$$

Substitúe y por 6 en x=-\frac{10}{3}y+34. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=-\frac{10}{3}\times 6+34$$

Multiplica -\frac{10}{3} por 6.

$$x=-20+34$$

Suma 34 a -20.

$$x=14$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=14,y=6$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$3x+10y=102,3x+7y=84$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&10\\3&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{3\times 7-10\times 3}&-\frac{10}{3\times 7-10\times 3}\\-\frac{3}{3\times 7-10\times 3}&\frac{3}{3\times 7-10\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{9}&\frac{10}{9}\\\frac{1}{3}&-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}102\\84\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{9}\times 102+\frac{10}{9}\times 84\\\frac{1}{3}\times 102-\frac{1}{3}\times 84\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}14\\6\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=14,y=6$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$3x+10y=102,3x+7y=84$$

Resta 3x+7y=84 de 3x+10y=102 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$3x-3x+10y-7y=102-84$$

Suma 3x a -3x. 3x e -3x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$10y-7y=102-84$$

Suma 10y a -7y.

$$3y=102-84$$

Suma 102 a -84.

$$3y=18$$

Divide ambos lados entre 3.

$$y=6$$

Substitúe y por 6 en 3x+7y=84. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$3x+7\times 6=84$$

Multiplica 7 por 6.

$$3x+42=84$$

Resta 42 en ambos lados da ecuación.

$$3x=42$$

Divide ambos lados entre 3.

$$x=14$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=14,y=6$$