Resolver 3q^2-19q+16=0

$$3 q ^ { 2 } - 19 q + 16 = 0$$

Resolver q

$$q=1$$

$$q = \frac{16}{3} = 5\frac{1}{3} \approx 5.333333333$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 3q^{2}+aq+bq+16. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-19 ab=3\times 16=48$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 48.

$$-1,-48 -2,-24 -3,-16 -4,-12 -6,-8$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-48=-49 -2-24=-26 -3-16=-19 -4-12=-16 -6-8=-14$$

A solución é a parella que fornece a suma -19.

$$a=-16 b=-3$$

Reescribe 3q^{2}-19q+16 como \left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right).

$$\left(3q^{2}-16q\right)+\left(-3q+16\right)$$

Factoriza q no primeiro e -1 no grupo segundo.

$$q\left(3q-16\right)-\left(3q-16\right)$$

Factoriza o termo común 3q-16 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(3q-16\right)\left(q-1\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 3q-16=0 e q-1=0.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 3, b por -19 e c por 16 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{\left(-19\right)^{2}-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Eleva -19 ao cadrado.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-4\times 3\times 16}}{2\times 3}$$

Multiplica -4 por 3.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-12\times 16}}{2\times 3}$$

Multiplica -12 por 16.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{361-192}}{2\times 3}$$

Suma 361 a -192.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Obtén a raíz cadrada de 169.

$$q=\frac{-\left(-19\right)±13}{2\times 3}$$

O contrario de -19 é 19.

$$q=\frac{19±13}{2\times 3}$$

Multiplica 2 por 3.

$$q=\frac{19±13}{6}$$

Agora resolve a ecuación q=\frac{19±13}{6} se ± é máis. Suma 19 a 13.

$$q=\frac{32}{6}$$

Reduce a fracción \frac{32}{6} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$q=\frac{16}{3}$$

Agora resolve a ecuación q=\frac{19±13}{6} se ± é menos. Resta 13 de 19.

$$q=\frac{6}{6}$$

Divide 6 entre 6.

$$q=1$$

A ecuación está resolta.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$3q^{2}-19q+16=0$$

Resta 16 en ambos lados da ecuación.

$$3q^{2}-19q+16-16=-16$$

Se restas 16 a si mesmo, quédache 0.

$$3q^{2}-19q=-16$$

Divide ambos lados entre 3.

$$\frac{3q^{2}-19q}{3}=-\frac{16}{3}$$

A división entre 3 desfai a multiplicación por 3.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q=-\frac{16}{3}$$

Divide -\frac{19}{3}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{19}{6}. Despois, suma o cadrado de -\frac{19}{6} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}=-\frac{16}{3}+\left(-\frac{19}{6}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{19}{6} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=-\frac{16}{3}+\frac{361}{36}$$

Suma -\frac{16}{3} a \frac{361}{36} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}=\frac{169}{36}$$

Factoriza q^{2}-\frac{19}{3}q+\frac{361}{36}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar coma \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(q-\frac{19}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Simplifica.

$$q-\frac{19}{6}=\frac{13}{6} q-\frac{19}{6}=-\frac{13}{6}$$

Suma \frac{19}{6} en ambos lados da ecuación.

$$q=\frac{16}{3} q=1$$