Resolver 3n^2-4n-15=0

$$3 n ^ { 2 } - 4 n - 15 = 0$$

Resolver n

$$n = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$n=3$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 3n^{2}+an+bn-15. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-4 ab=3\left(-15\right)=-45$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -45.

$$1,-45 3,-15 5,-9$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-45=-44 3-15=-12 5-9=-4$$

A solución é a parella que fornece a suma -4.

$$a=-9 b=5$$

Reescribe 3n^{2}-4n-15 como \left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right).

$$\left(3n^{2}-9n\right)+\left(5n-15\right)$$

Factoriza 3n no primeiro e 5 no grupo segundo.

$$3n\left(n-3\right)+5\left(n-3\right)$$

Factoriza o termo común n-3 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(n-3\right)\left(3n+5\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve n-3=0 e 3n+5=0.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 3, b por -4 e c por -15 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Eleva -4 ao cadrado.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 3\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Multiplica -4 por 3.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-12\left(-15\right)}}{2\times 3}$$

Multiplica -12 por -15.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+180}}{2\times 3}$$

Suma 16 a 180.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Obtén a raíz cadrada de 196.

$$n=\frac{-\left(-4\right)±14}{2\times 3}$$

O contrario de -4 é 4.

$$n=\frac{4±14}{2\times 3}$$

Multiplica 2 por 3.

$$n=\frac{4±14}{6}$$

Agora resolve a ecuación n=\frac{4±14}{6} se ± é máis. Suma 4 a 14.

$$n=\frac{18}{6}$$

Divide 18 entre 6.

$$n=3$$

Agora resolve a ecuación n=\frac{4±14}{6} se ± é menos. Resta 14 de 4.

$$n=-\frac{10}{6}$$

Reduce a fracción \frac{-10}{6} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$n=-\frac{5}{3}$$

A ecuación está resolta.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}-4n-15=0$$

Suma 15 en ambos lados da ecuación.

$$3n^{2}-4n-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Se restas -15 a si mesmo, quédache 0.

$$3n^{2}-4n=-\left(-15\right)$$

Resta -15 de 0.

$$3n^{2}-4n=15$$

Divide ambos lados entre 3.

$$\frac{3n^{2}-4n}{3}=\frac{15}{3}$$

A división entre 3 desfai a multiplicación por 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=\frac{15}{3}$$

Divide 15 entre 3.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n=5$$

Divide -\frac{4}{3}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{2}{3}. Despois, suma o cadrado de -\frac{2}{3} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=5+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{2}{3} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=5+\frac{4}{9}$$

Suma 5 a \frac{4}{9}.

$$n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}=\frac{49}{9}$$

Factoriza n^{2}-\frac{4}{3}n+\frac{4}{9}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(n-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Simplifica.

$$n-\frac{2}{3}=\frac{7}{3} n-\frac{2}{3}=-\frac{7}{3}$$

Suma \frac{2}{3} en ambos lados da ecuación.

$$n=3 n=-\frac{5}{3}$$