Resolver 3n^2+47n-232=5

$$3 n ^ { 2 } + 47 n - 232 = 5$$

Resolver n

$$n = \frac{\sqrt{5053} - 47}{6} \approx 4.014076135$$

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}\approx -19.680742802$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$3n^{2}+47n-232=5$$

Resta 5 en ambos lados da ecuación.

$$3n^{2}+47n-232-5=5-5$$

Se restas 5 a si mesmo, quédache 0.

$$3n^{2}+47n-232-5=0$$

Resta 5 de -232.

$$3n^{2}+47n-237=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 3, b por 47 e c por -237 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-47±\sqrt{47^{2}-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Eleva 47 ao cadrado.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-4\times 3\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Multiplica -4 por 3.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209-12\left(-237\right)}}{2\times 3}$$

Multiplica -12 por -237.

$$n=\frac{-47±\sqrt{2209+2844}}{2\times 3}$$

Suma 2209 a 2844.

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{2\times 3}$$

Multiplica 2 por 3.

$$n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6}$$

Agora resolve a ecuación n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6} se ± é máis. Suma -47 a \sqrt{5053}.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6}$$

Agora resolve a ecuación n=\frac{-47±\sqrt{5053}}{6} se ± é menos. Resta \sqrt{5053} de -47.

$$n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

A ecuación está resolta.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+47n-232=5$$

Suma 232 en ambos lados da ecuación.

$$3n^{2}+47n-232-\left(-232\right)=5-\left(-232\right)$$

Se restas -232 a si mesmo, quédache 0.

$$3n^{2}+47n=5-\left(-232\right)$$

Resta -232 de 5.

$$3n^{2}+47n=237$$

Divide ambos lados entre 3.

$$\frac{3n^{2}+47n}{3}=\frac{237}{3}$$

A división entre 3 desfai a multiplicación por 3.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=\frac{237}{3}$$

Divide 237 entre 3.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n=79$$

Divide \frac{47}{3}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{47}{6}. Despois, suma o cadrado de \frac{47}{6} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}=79+\left(\frac{47}{6}\right)^{2}$$

Eleva \frac{47}{6} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=79+\frac{2209}{36}$$

Suma 79 a \frac{2209}{36}.

$$n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}=\frac{5053}{36}$$

Factoriza n^{2}+\frac{47}{3}n+\frac{2209}{36}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}=\frac{5053}{36}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(n+\frac{47}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5053}{36}}$$

Simplifica.

$$n+\frac{47}{6}=\frac{\sqrt{5053}}{6} n+\frac{47}{6}=-\frac{\sqrt{5053}}{6}$$

Resta \frac{47}{6} en ambos lados da ecuación.

$$n=\frac{\sqrt{5053}-47}{6} n=\frac{-\sqrt{5053}-47}{6}$$