Resolver 3n^2+10n=8

$$3 n ^ { 2 } + 10 n = 8$$

Resolver n

$$n=-4$$

$$n=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Resta 8 en ambos lados.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 3n^{2}+an+bn-8. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=10 ab=3\left(-8\right)=-24$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -24.

$$-1,24 -2,12 -3,8 -4,6$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+24=23 -2+12=10 -3+8=5 -4+6=2$$

A solución é a parella que fornece a suma 10.

$$a=-2 b=12$$

Reescribe 3n^{2}+10n-8 como \left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right).

$$\left(3n^{2}-2n\right)+\left(12n-8\right)$$

Factoriza n no primeiro e 4 no grupo segundo.

$$n\left(3n-2\right)+4\left(3n-2\right)$$

Factoriza o termo común 3n-2 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(3n-2\right)\left(n+4\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 3n-2=0 e n+4=0.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$3n^{2}+10n=8$$

Resta 8 en ambos lados da ecuación.

$$3n^{2}+10n-8=8-8$$

Se restas 8 a si mesmo, quédache 0.

$$3n^{2}+10n-8=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 3, b por 10 e c por -8 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Eleva 10 ao cadrado.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 3\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Multiplica -4 por 3.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100-12\left(-8\right)}}{2\times 3}$$

Multiplica -12 por -8.

$$n=\frac{-10±\sqrt{100+96}}{2\times 3}$$

Suma 100 a 96.

$$n=\frac{-10±\sqrt{196}}{2\times 3}$$

Obtén a raíz cadrada de 196.

$$n=\frac{-10±14}{2\times 3}$$

Multiplica 2 por 3.

$$n=\frac{-10±14}{6}$$

Agora resolve a ecuación n=\frac{-10±14}{6} se ± é máis. Suma -10 a 14.

$$n=\frac{4}{6}$$

Reduce a fracción \frac{4}{6} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$n=\frac{2}{3}$$

Agora resolve a ecuación n=\frac{-10±14}{6} se ± é menos. Resta 14 de -10.

$$n=-\frac{24}{6}$$

Divide -24 entre 6.

$$n=-4$$

A ecuación está resolta.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$3n^{2}+10n=8$$

Divide ambos lados entre 3.

$$\frac{3n^{2}+10n}{3}=\frac{8}{3}$$

A división entre 3 desfai a multiplicación por 3.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n=\frac{8}{3}$$

Divide \frac{10}{3}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{5}{3}. Despois, suma o cadrado de \frac{5}{3} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{8}{3}+\left(\frac{5}{3}\right)^{2}$$

Eleva \frac{5}{3} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Suma \frac{8}{3} a \frac{25}{9} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}=\frac{49}{9}$$

Factoriza n^{2}+\frac{10}{3}n+\frac{25}{9}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{49}{9}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(n+\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{9}}$$

Simplifica.

$$n+\frac{5}{3}=\frac{7}{3} n+\frac{5}{3}=-\frac{7}{3}$$

Resta \frac{5}{3} en ambos lados da ecuación.

$$n=\frac{2}{3} n=-4$$