Resolver 3(-16k/4k^2+1)^2=32/4k^2+1

$$3 ( \frac { - 16 k } { 4 k ^ { 2 } + 1 } ) ^ { 2 } = \frac { 32 } { 4 k ^ { 2 } + 1 }$$

Resolver k

$$k=\frac{\sqrt{5}}{10}\approx 0.223606798$$

$$k=-\frac{\sqrt{5}}{10}\approx -0.223606798$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Multiplica ambos lados da ecuación por 4k^{2}+1.

$$3\times \left(\frac{-16k}{4k^{2}+1}\right)^{2}\left(4k^{2}+1\right)=32$$

Para elevar \frac{-16k}{4k^{2}+1} a unha potencia, eleva o numerador e o denominador á potencia e despois divide.

$$3\times \frac{\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}\left(4k^{2}+1\right)=32$$

Expresa 3\times \frac{\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}} como unha única fracción.

$$\frac{3\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}\left(4k^{2}+1\right)=32$$

Expresa \frac{3\left(-16k\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}\left(4k^{2}+1\right) como unha única fracción.

$$\frac{3\left(-16k\right)^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

Expande \left(-16k\right)^{2}.

$$\frac{3\left(-16\right)^{2}k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

Calcula -16 á potencia de 2 e obtén 256.

$$\frac{3\times 256k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

Multiplica 3 e 256 para obter 768.

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=32$$

Usar teorema binomial \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} para expandir \left(4k^{2}+1\right)^{2}.

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{16\left(k^{2}\right)^{2}+8k^{2}+1}=32$$

Para elevar unha potencia a outra potencia, multiplica os expoñentes. Multiplica 2 e 2 para obter 4.

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{16k^{4}+8k^{2}+1}=32$$

Resta 32 en ambos lados.

$$\frac{768k^{2}\left(4k^{2}+1\right)}{16k^{4}+8k^{2}+1}-32=0$$

Usa a propiedade distributiva para multiplicar 768k^{2} por 4k^{2}+1.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}}{16k^{4}+8k^{2}+1}-32=0$$

Factoriza 16k^{4}+8k^{2}+1.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}-32=0$$

Para sumar ou restar expresións, expándeas para facer que os seus denominadores sexan iguais. Multiplica 32 por \frac{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}-\frac{32\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

Dado que \frac{3072k^{4}+768k^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}} e \frac{32\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}} teñen o mesmo denominador, réstaos mediante a resta dos seus numeradores.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}-32\left(4k^{2}+1\right)^{2}}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

Fai as multiplicacións en 3072k^{4}+768k^{2}-32\left(4k^{2}+1\right)^{2}.

$$\frac{3072k^{4}+768k^{2}-512k^{4}-256k^{2}-32}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

Combina como termos en 3072k^{4}+768k^{2}-512k^{4}-256k^{2}-32.

$$\frac{2560k^{4}+512k^{2}-32}{\left(4k^{2}+1\right)^{2}}=0$$

Multiplica ambos lados da ecuación por \left(4k^{2}+1\right)^{2}.

$$2560k^{4}+512k^{2}-32=0$$

Substitúe t por k^{2}.

$$2560t^{2}+512t-32=0$$

Todas as ecuacións coa forma ax^{2}+bx+c=0 se poden resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitúe 2560 por a, 512 por b e -32 por c na fórmula cadrática.

$$t=\frac{-512±\sqrt{512^{2}-4\times 2560\left(-32\right)}}{2\times 2560}$$

Fai os cálculos.

$$t=\frac{-512±768}{5120}$$

Resolve a ecuación t=\frac{-512±768}{5120} cando ± é máis e cando ± é menos.

$$t=\frac{1}{20} t=-\frac{1}{4}$$

Desde k=t^{2}, as solucións obtéñense mediante a avaliación de k=±\sqrt{t} por t positivo.

$$k=\frac{\sqrt{5}}{10} k=-\frac{\sqrt{5}}{10}$$