Resolver 3z^2+9z+6=0

$$3 { z }^{ 2 } +9z+6=0$$

Resolver z

$$z=-2$$

$$z=-1$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Divide ambos lados entre 3.

$$z^{2}+3z+2=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como z^{2}+az+bz+2. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=3 ab=1\times 2=2$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. A única parella así é a solución de sistema.

$$a=1 b=2$$

Reescribe z^{2}+3z+2 como \left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right).

$$\left(z^{2}+z\right)+\left(2z+2\right)$$

Factoriza z no primeiro e 2 no grupo segundo.

$$z\left(z+1\right)+2\left(z+1\right)$$

Factoriza o termo común z+1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(z+1\right)\left(z+2\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve z+1=0 e z+2=0.

$$z=-1 z=-2$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 3, b por 9 e c por 6 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Eleva 9 ao cadrado.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 3\times 6}}{2\times 3}$$

Multiplica -4 por 3.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-12\times 6}}{2\times 3}$$

Multiplica -12 por 6.

$$z=\frac{-9±\sqrt{81-72}}{2\times 3}$$

Suma 81 a -72.

$$z=\frac{-9±\sqrt{9}}{2\times 3}$$

Obtén a raíz cadrada de 9.

$$z=\frac{-9±3}{2\times 3}$$

Multiplica 2 por 3.

$$z=\frac{-9±3}{6}$$

Agora resolve a ecuación z=\frac{-9±3}{6} se ± é máis. Suma -9 a 3.

$$z=-\frac{6}{6}$$

Divide -6 entre 6.

$$z=-1$$

Agora resolve a ecuación z=\frac{-9±3}{6} se ± é menos. Resta 3 de -9.

$$z=-\frac{12}{6}$$

Divide -12 entre 6.

$$z=-2$$

A ecuación está resolta.

$$z=-1 z=-2$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$3z^{2}+9z+6=0$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$3z^{2}+9z+6-6=-6$$

Se restas 6 a si mesmo, quédache 0.

$$3z^{2}+9z=-6$$

Divide ambos lados entre 3.

$$\frac{3z^{2}+9z}{3}=-\frac{6}{3}$$

A división entre 3 desfai a multiplicación por 3.

$$z^{2}+\frac{9}{3}z=-\frac{6}{3}$$

Divide 9 entre 3.

$$z^{2}+3z=-\frac{6}{3}$$

Divide -6 entre 3.

$$z^{2}+3z=-2$$

Divide 3, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{3}{2}. Despois, suma o cadrado de \frac{3}{2} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$z^{2}+3z+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-2+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Eleva \frac{3}{2} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=-2+\frac{9}{4}$$

Suma -2 a \frac{9}{4}.

$$z^{2}+3z+\frac{9}{4}=\frac{1}{4}$$

Factoriza z^{2}+3z+\frac{9}{4}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar coma \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(z+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Simplifica.

$$z+\frac{3}{2}=\frac{1}{2} z+\frac{3}{2}=-\frac{1}{2}$$

Resta \frac{3}{2} en ambos lados da ecuación.

$$z=-1 z=-2$$