Resolver 3x^4+x^3+2x^2+4x-40

$$3 { x }^{ 4 } + { x }^{ 3 } +2 { x }^{ 2 } +4x-40$$

Factorizar

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Pasos da solución

Para factorizar a expresión, resolve a ecuación onde é igual a 0.

$$3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40=0$$

Por Teorema da raíz racional, todas as raíces racionais dun polinomio están no formulario \frac{p}{q}, onde p divide o termo constante -40 e q divide o coeficiente primeiro 3. Listar todo os candidatos \frac{p}{q}.

$$±\frac{40}{3},±40,±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{8}{3},±8,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Localizar esa raíz tentando todos os valores enteiros, comezando desde o menor por valor absoluto. Se non se encontran raíces enteiras, proba fraccións.

$$x=-2$$

Por Teorema do factor, x-k é un factor do polinomio para cada raíz k. Divide 3x^{4}+x^{3}+2x^{2}+4x-40 entre x+2 para obter 3x^{3}-5x^{2}+12x-20. Para factorizar a expresión, resolve a ecuación onde é igual a 0.

$$3x^{3}-5x^{2}+12x-20=0$$

Por Teorema da raíz racional, todas as raíces racionais dun polinomio están no formulario \frac{p}{q}, onde p divide o termo constante -20 e q divide o coeficiente primeiro 3. Listar todo os candidatos \frac{p}{q}.

$$±\frac{20}{3},±20,±\frac{10}{3},±10,±\frac{5}{3},±5,±\frac{4}{3},±4,±\frac{2}{3},±2,±\frac{1}{3},±1$$

Localizar esa raíz tentando todos os valores enteiros, comezando desde o menor por valor absoluto. Se non se encontran raíces enteiras, proba fraccións.

$$x=\frac{5}{3}$$

Por Teorema do factor, x-k é un factor do polinomio para cada raíz k. Divide 3x^{3}-5x^{2}+12x-20 entre 3\left(x-\frac{5}{3}\right)=3x-5 para obter x^{2}+4. Para factorizar a expresión, resolve a ecuación onde é igual a 0.

$$x^{2}+4=0$$

Todas as ecuacións coa forma ax^{2}+bx+c=0 se poden resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Substitúe 1 por a, 0 por b e 4 por c na fórmula cadrática.

$$x=\frac{0±\sqrt{0^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Fai os cálculos.

$$x=\frac{0±\sqrt{-16}}{2}$$

O polinomio x^{2}+4 non está factorizado porque aínda que non ten ningunha raíz racional.

$$x^{2}+4$$

Reescribe a expresión factorizada usando as raíces obtidas.

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$

Calcular

$$\left(3x-5\right)\left(x+2\right)\left(x^{2}+4\right)$$