Resolver 3x^2-5x-372=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-372=0$$

Resolver x

$$x = -\frac{31}{3} = -10\frac{1}{3} \approx -10.333333333$$

$$x=12$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 3x^{2}+ax+bx-372. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-5 ab=3\left(-372\right)=-1116$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -1116.

$$1,-1116 2,-558 3,-372 4,-279 6,-186 9,-124 12,-93 18,-62 31,-36$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-1116=-1115 2-558=-556 3-372=-369 4-279=-275 6-186=-180 9-124=-115 12-93=-81 18-62=-44 31-36=-5$$

A solución é a parella que fornece a suma -5.

$$a=-36 b=31$$

Reescribe 3x^{2}-5x-372 como \left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(31x-372\right)$$

Factoriza 3x no primeiro e 31 no grupo segundo.

$$3x\left(x-12\right)+31\left(x-12\right)$$

Factoriza o termo común x-12 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-12\right)\left(3x+31\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-12=0 e 3x+31=0.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 3, b por -5 e c por -372 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Eleva -5 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Multiplica -4 por 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-372\right)}}{2\times 3}$$

Multiplica -12 por -372.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4464}}{2\times 3}$$

Suma 25 a 4464.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{4489}}{2\times 3}$$

Obtén a raíz cadrada de 4489.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±67}{2\times 3}$$

O contrario de -5 é 5.

$$x=\frac{5±67}{2\times 3}$$

Multiplica 2 por 3.

$$x=\frac{5±67}{6}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{5±67}{6} se ± é máis. Suma 5 a 67.

$$x=\frac{72}{6}$$

Divide 72 entre 6.

$$x=12$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{5±67}{6} se ± é menos. Resta 67 de 5.

$$x=-\frac{62}{6}$$

Reduce a fracción \frac{-62}{6} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=-\frac{31}{3}$$

A ecuación está resolta.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x-372=0$$

Suma 372 en ambos lados da ecuación.

$$3x^{2}-5x-372-\left(-372\right)=-\left(-372\right)$$

Se restas -372 a si mesmo, quédache 0.

$$3x^{2}-5x=-\left(-372\right)$$

Resta -372 de 0.

$$3x^{2}-5x=372$$

Divide ambos lados entre 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{372}{3}$$

A división entre 3 desfai a multiplicación por 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{372}{3}$$

Divide 372 entre 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=124$$

Divide -\frac{5}{3}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{5}{6}. Despois, suma o cadrado de -\frac{5}{6} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=124+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{5}{6} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=124+\frac{25}{36}$$

Suma 124 a \frac{25}{36}.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{4489}{36}$$

Factoriza x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar coma \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{4489}{36}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4489}{36}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{67}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{67}{6}$$

Suma \frac{5}{6} en ambos lados da ecuación.

$$x=12 x=-\frac{31}{3}$$