Resolver 3x^2-5x-250=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x-250=0$$

Resolver x

$$x = -\frac{25}{3} = -8\frac{1}{3} \approx -8.333333333$$

$$x=10$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 3x^{2}+ax+bx-250. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-5 ab=3\left(-250\right)=-750$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -750.

$$1,-750 2,-375 3,-250 5,-150 6,-125 10,-75 15,-50 25,-30$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-750=-749 2-375=-373 3-250=-247 5-150=-145 6-125=-119 10-75=-65 15-50=-35 25-30=-5$$

A solución é a parella que fornece a suma -5.

$$a=-30 b=25$$

Reescribe 3x^{2}-5x-250 como \left(3x^{2}-30x\right)+\left(25x-250\right).

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(25x-250\right)$$

Factoriza 3x no primeiro e 25 no grupo segundo.

$$3x\left(x-10\right)+25\left(x-10\right)$$

Factoriza o termo común x-10 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-10\right)\left(3x+25\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-10=0 e 3x+25=0.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$3x^{2}-5x-250=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 3, b por -5 e c por -250 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

Eleva -5 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

Multiplica -4 por 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\left(-250\right)}}{2\times 3}$$

Multiplica -12 por -250.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+3000}}{2\times 3}$$

Suma 25 a 3000.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{3025}}{2\times 3}$$

Obtén a raíz cadrada de 3025.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±55}{2\times 3}$$

O contrario de -5 é 5.

$$x=\frac{5±55}{2\times 3}$$

Multiplica 2 por 3.

$$x=\frac{5±55}{6}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{5±55}{6} se ± é máis. Suma 5 a 55.

$$x=\frac{60}{6}$$

Divide 60 entre 6.

$$x=10$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{5±55}{6} se ± é menos. Resta 55 de 5.

$$x=-\frac{50}{6}$$

Reduce a fracción \frac{-50}{6} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=-\frac{25}{3}$$

A ecuación está resolta.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x-250=0$$

Suma 250 en ambos lados da ecuación.

$$3x^{2}-5x-250-\left(-250\right)=-\left(-250\right)$$

Se restas -250 a si mesmo, quédache 0.

$$3x^{2}-5x=-\left(-250\right)$$

Resta -250 de 0.

$$3x^{2}-5x=250$$

Divide ambos lados entre 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=\frac{250}{3}$$

A división entre 3 desfai a multiplicación por 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=\frac{250}{3}$$

Divide -\frac{5}{3}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{5}{6}. Despois, suma o cadrado de -\frac{5}{6} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{250}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{5}{6} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{250}{3}+\frac{25}{36}$$

Suma \frac{250}{3} a \frac{25}{36} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{3025}{36}$$

Factoriza x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{3025}{36}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{3025}{36}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{55}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{55}{6}$$

Suma \frac{5}{6} en ambos lados da ecuación.

$$x=10 x=-\frac{25}{3}$$