Resolver 3x^2-5x+2=0

$$3 { x }^{ 2 } -5x+2=0$$

Resolver x

$$x=1$$

$$x=\frac{2}{3}\approx 0.666666667$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 3x^{2}+ax+bx+2. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-5 ab=3\times 2=6$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 6.

$$-1,-6 -2,-3$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-6=-7 -2-3=-5$$

A solución é a parella que fornece a suma -5.

$$a=-3 b=-2$$

Reescribe 3x^{2}-5x+2 como \left(3x^{2}-3x\right)+\left(-2x+2\right).

$$\left(3x^{2}-3x\right)+\left(-2x+2\right)$$

Factoriza 3x no primeiro e -2 no grupo segundo.

$$3x\left(x-1\right)-2\left(x-1\right)$$

Factoriza o termo común x-1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-1\right)\left(3x-2\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-1=0 e 3x-2=0.

$$x=1 x=\frac{2}{3}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$3x^{2}-5x+2=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 3, b por -5 e c por 2 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Eleva -5 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 3\times 2}}{2\times 3}$$

Multiplica -4 por 3.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-12\times 2}}{2\times 3}$$

Multiplica -12 por 2.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-24}}{2\times 3}$$

Suma 25 a -24.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{1}}{2\times 3}$$

Obtén a raíz cadrada de 1.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±1}{2\times 3}$$

O contrario de -5 é 5.

$$x=\frac{5±1}{2\times 3}$$

Multiplica 2 por 3.

$$x=\frac{5±1}{6}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{5±1}{6} se ± é máis. Suma 5 a 1.

$$x=\frac{6}{6}$$

Divide 6 entre 6.

$$x=1$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{5±1}{6} se ± é menos. Resta 1 de 5.

$$x=\frac{4}{6}$$

Reduce a fracción \frac{4}{6} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=\frac{2}{3}$$

A ecuación está resolta.

$$x=1 x=\frac{2}{3}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-5x+2=0$$

Resta 2 en ambos lados da ecuación.

$$3x^{2}-5x+2-2=-2$$

Se restas 2 a si mesmo, quédache 0.

$$3x^{2}-5x=-2$$

Divide ambos lados entre 3.

$$\frac{3x^{2}-5x}{3}=-\frac{2}{3}$$

A división entre 3 desfai a multiplicación por 3.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x=-\frac{2}{3}$$

Divide -\frac{5}{3}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{5}{6}. Despois, suma o cadrado de -\frac{5}{6} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}=-\frac{2}{3}+\left(-\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{5}{6} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=-\frac{2}{3}+\frac{25}{36}$$

Suma -\frac{2}{3} a \frac{25}{36} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1}{36}$$

Factoriza x^{2}-\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1}{36}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{36}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{5}{6}=\frac{1}{6} x-\frac{5}{6}=-\frac{1}{6}$$

Suma \frac{5}{6} en ambos lados da ecuación.

$$x=1 x=\frac{2}{3}$$