Resolver 3x^2-31x-60=0

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

Resolver x

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=12$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 3x^{2}+ax+bx-60. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

A solución é a parella que fornece a suma -31.

$$a=-36 b=5$$

Reescribe 3x^{2}-31x-60 como \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right).

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

Factoriza 3x no primeiro e 5 no grupo segundo.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

Factoriza o termo común x-12 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-12=0 e 3x+5=0.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 3, b por -31 e c por -60 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Eleva -31 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Multiplica -4 por 3.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

Multiplica -12 por -60.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

Suma 961 a 720.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Obtén a raíz cadrada de 1681.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

O contrario de -31 é 31.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

Multiplica 2 por 3.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{31±41}{6} se ± é máis. Suma 31 a 41.

$$x=\frac{72}{6}$$

Divide 72 entre 6.

$$x=12$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{31±41}{6} se ± é menos. Resta 41 de 31.

$$x=-\frac{10}{6}$$

Reduce a fracción \frac{-10}{6} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=-\frac{5}{3}$$

A ecuación está resolta.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

Suma 60 en ambos lados da ecuación.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Se restas -60 a si mesmo, quédache 0.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

Resta -60 de 0.

$$3x^{2}-31x=60$$

Divide ambos lados entre 3.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

A división entre 3 desfai a multiplicación por 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

Divide 60 entre 3.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

Divide -\frac{31}{3}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{31}{6}. Despois, suma o cadrado de -\frac{31}{6} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{31}{6} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

Suma 20 a \frac{961}{36}.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

Factoriza x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

Suma \frac{31}{6} en ambos lados da ecuación.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$