Resolver 3x^2+5x=138

$$3 { x }^{ 2 } +5x=138$$

Resolver x

$$x = -\frac{23}{3} = -7\frac{2}{3} \approx -7.666666667$$

$$x=6$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Resta 138 en ambos lados.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 3x^{2}+ax+bx-138. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=5 ab=3\left(-138\right)=-414$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -414.

$$-1,414 -2,207 -3,138 -6,69 -9,46 -18,23$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+414=413 -2+207=205 -3+138=135 -6+69=63 -9+46=37 -18+23=5$$

A solución é a parella que fornece a suma 5.

$$a=-18 b=23$$

Reescribe 3x^{2}+5x-138 como \left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right).

$$\left(3x^{2}-18x\right)+\left(23x-138\right)$$

Factoriza 3x no primeiro e 23 no grupo segundo.

$$3x\left(x-6\right)+23\left(x-6\right)$$

Factoriza o termo común x-6 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-6\right)\left(3x+23\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-6=0 e 3x+23=0.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$3x^{2}+5x=138$$

Resta 138 en ambos lados da ecuación.

$$3x^{2}+5x-138=138-138$$

Se restas 138 a si mesmo, quédache 0.

$$3x^{2}+5x-138=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 3, b por 5 e c por -138 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Eleva 5 ao cadrado.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-4\times 3\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Multiplica -4 por 3.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25-12\left(-138\right)}}{2\times 3}$$

Multiplica -12 por -138.

$$x=\frac{-5±\sqrt{25+1656}}{2\times 3}$$

Suma 25 a 1656.

$$x=\frac{-5±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

Obtén a raíz cadrada de 1681.

$$x=\frac{-5±41}{2\times 3}$$

Multiplica 2 por 3.

$$x=\frac{-5±41}{6}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-5±41}{6} se ± é máis. Suma -5 a 41.

$$x=\frac{36}{6}$$

Divide 36 entre 6.

$$x=6$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-5±41}{6} se ± é menos. Resta 41 de -5.

$$x=-\frac{46}{6}$$

Reduce a fracción \frac{-46}{6} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=-\frac{23}{3}$$

A ecuación está resolta.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+5x=138$$

Divide ambos lados entre 3.

$$\frac{3x^{2}+5x}{3}=\frac{138}{3}$$

A división entre 3 desfai a multiplicación por 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=\frac{138}{3}$$

Divide 138 entre 3.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x=46$$

Divide \frac{5}{3}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{5}{6}. Despois, suma o cadrado de \frac{5}{6} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}=46+\left(\frac{5}{6}\right)^{2}$$

Eleva \frac{5}{6} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=46+\frac{25}{36}$$

Suma 46 a \frac{25}{36}.

$$x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}=\frac{1681}{36}$$

Factoriza x^{2}+\frac{5}{3}x+\frac{25}{36}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{5}{6}=\frac{41}{6} x+\frac{5}{6}=-\frac{41}{6}$$

Resta \frac{5}{6} en ambos lados da ecuación.

$$x=6 x=-\frac{23}{3}$$