Resolver 3x^2+17x+10=0

$$3 { x }^{ 2 } +17x+10=0$$

Resolver x

$$x=-5$$

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 3x^{2}+ax+bx+10. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=17 ab=3\times 10=30$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 30.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

A solución é a parella que fornece a suma 17.

$$a=2 b=15$$

Reescribe 3x^{2}+17x+10 como \left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right).

$$\left(3x^{2}+2x\right)+\left(15x+10\right)$$

Factoriza x no primeiro e 5 no grupo segundo.

$$x\left(3x+2\right)+5\left(3x+2\right)$$

Factoriza o termo común 3x+2 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(3x+2\right)\left(x+5\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 3x+2=0 e x+5=0.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$3x^{2}+17x+10=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 3, b por 17 e c por 10 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Eleva 17 ao cadrado.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 3\times 10}}{2\times 3}$$

Multiplica -4 por 3.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-12\times 10}}{2\times 3}$$

Multiplica -12 por 10.

$$x=\frac{-17±\sqrt{289-120}}{2\times 3}$$

Suma 289 a -120.

$$x=\frac{-17±\sqrt{169}}{2\times 3}$$

Obtén a raíz cadrada de 169.

$$x=\frac{-17±13}{2\times 3}$$

Multiplica 2 por 3.

$$x=\frac{-17±13}{6}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-17±13}{6} se ± é máis. Suma -17 a 13.

$$x=-\frac{4}{6}$$

Reduce a fracción \frac{-4}{6} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-17±13}{6} se ± é menos. Resta 13 de -17.

$$x=-\frac{30}{6}$$

Divide -30 entre 6.

$$x=-5$$

A ecuación está resolta.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$3x^{2}+17x+10=0$$

Resta 10 en ambos lados da ecuación.

$$3x^{2}+17x+10-10=-10$$

Se restas 10 a si mesmo, quédache 0.

$$3x^{2}+17x=-10$$

Divide ambos lados entre 3.

$$\frac{3x^{2}+17x}{3}=-\frac{10}{3}$$

A división entre 3 desfai a multiplicación por 3.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x=-\frac{10}{3}$$

Divide \frac{17}{3}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{17}{6}. Despois, suma o cadrado de \frac{17}{6} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\left(\frac{17}{6}\right)^{2}=-\frac{10}{3}+\left(\frac{17}{6}\right)^{2}$$

Eleva \frac{17}{6} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}=-\frac{10}{3}+\frac{289}{36}$$

Suma -\frac{10}{3} a \frac{289}{36} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}=\frac{169}{36}$$

Factoriza x^{2}+\frac{17}{3}x+\frac{289}{36}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{17}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{17}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{17}{6}=\frac{13}{6} x+\frac{17}{6}=-\frac{13}{6}$$

Resta \frac{17}{6} en ambos lados da ecuación.

$$x=-\frac{2}{3} x=-5$$