Resolver 3x^2+14x-69

$$3 { x }^{ 2 } +14x-69$$

Factorizar

$$\left(x-3\right)\left(3x+23\right)$$

Pasos da solución

Factoriza a expresión mediante agrupamento. Primeiro, a expresión ten que volver escribirse como 3x^{2}+ax+bx-69. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=14 ab=3\left(-69\right)=-207$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -207.

$$-1,207 -3,69 -9,23$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+207=206 -3+69=66 -9+23=14$$

A solución é a parella que fornece a suma 14.

$$a=-9 b=23$$

Reescribe 3x^{2}+14x-69 como \left(3x^{2}-9x\right)+\left(23x-69\right).

$$\left(3x^{2}-9x\right)+\left(23x-69\right)$$

Factoriza 3x no primeiro e 23 no grupo segundo.

$$3x\left(x-3\right)+23\left(x-3\right)$$

Factoriza o termo común x-3 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-3\right)\left(3x+23\right)$$

Pasos que usan fórmula cadrática

O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$3x^{2}+14x-69=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 3\left(-69\right)}}{2\times 3}$$

Eleva 14 ao cadrado.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 3\left(-69\right)}}{2\times 3}$$

Multiplica -4 por 3.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-12\left(-69\right)}}{2\times 3}$$

Multiplica -12 por -69.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+828}}{2\times 3}$$

Suma 196 a 828.

$$x=\frac{-14±\sqrt{1024}}{2\times 3}$$

Obtén a raíz cadrada de 1024.

$$x=\frac{-14±32}{2\times 3}$$

Multiplica 2 por 3.

$$x=\frac{-14±32}{6}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-14±32}{6} se ± é máis. Suma -14 a 32.

$$x=\frac{18}{6}$$

Divide 18 entre 6.

$$x=3$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-14±32}{6} se ± é menos. Resta 32 de -14.

$$x=-\frac{46}{6}$$

Reduce a fracción \frac{-46}{6} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=-\frac{23}{3}$$

Factoriza a expresión orixinal usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitúe 3 por x_{1} e -\frac{23}{3} por x_{2}.

$$3x^{2}+14x-69=3\left(x-3\right)\left(x-\left(-\frac{23}{3}\right)\right)$$

Simplifica todas as expresións do formulario p-\left(-q\right) a p+q.

$$3x^{2}+14x-69=3\left(x-3\right)\left(x+\frac{23}{3}\right)$$

Suma \frac{23}{3} a x mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$3x^{2}+14x-69=3\left(x-3\right)\times \frac{3x+23}{3}$$

Descarta o máximo común divisor 3 en 3 e 3.

$$3x^{2}+14x-69=\left(x-3\right)\left(3x+23\right)$$

Calcular

$$\left(x-3\right)\left(3x+23\right)$$