Resolver 256x^2-32x+1=0

$$256 { x }^{ 2 } -32x+1 = 0$$

Resolver x

$$x=\frac{1}{16}=0.0625$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 256x^{2}+ax+bx+1. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-32 ab=256\times 1=256$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 256.

$$-1,-256 -2,-128 -4,-64 -8,-32 -16,-16$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-256=-257 -2-128=-130 -4-64=-68 -8-32=-40 -16-16=-32$$

A solución é a parella que fornece a suma -32.

$$a=-16 b=-16$$

Reescribe 256x^{2}-32x+1 como \left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right).

$$\left(256x^{2}-16x\right)+\left(-16x+1\right)$$

Factoriza 16x no primeiro e -1 no grupo segundo.

$$16x\left(16x-1\right)-\left(16x-1\right)$$

Factoriza o termo común 16x-1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(16x-1\right)\left(16x-1\right)$$

Reescribe como cadrado de binomio.

$$\left(16x-1\right)^{2}$$

Para atopar a solución de ecuación, resolve 16x-1=0.

$$x=\frac{1}{16}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$256x^{2}-32x+1=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 256, b por -32 e c por 1 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{\left(-32\right)^{2}-4\times 256}}{2\times 256}$$

Eleva -32 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-4\times 256}}{2\times 256}$$

Multiplica -4 por 256.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{1024-1024}}{2\times 256}$$

Suma 1024 a -1024.

$$x=\frac{-\left(-32\right)±\sqrt{0}}{2\times 256}$$

Obtén a raíz cadrada de 0.

$$x=-\frac{-32}{2\times 256}$$

O contrario de -32 é 32.

$$x=\frac{32}{2\times 256}$$

Multiplica 2 por 256.

$$x=\frac{32}{512}$$

Reduce a fracción \frac{32}{512} a termos máis baixos extraendo e cancelando 32.

$$x=\frac{1}{16}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$256x^{2}-32x+1=0$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$256x^{2}-32x+1-1=-1$$

Se restas 1 a si mesmo, quédache 0.

$$256x^{2}-32x=-1$$

Divide ambos lados entre 256.

$$\frac{256x^{2}-32x}{256}=-\frac{1}{256}$$

A división entre 256 desfai a multiplicación por 256.

$$x^{2}+\left(-\frac{32}{256}\right)x=-\frac{1}{256}$$

Reduce a fracción \frac{-32}{256} a termos máis baixos extraendo e cancelando 32.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x=-\frac{1}{256}$$

Divide -\frac{1}{8}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{1}{16}. Despois, suma o cadrado de -\frac{1}{16} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}=-\frac{1}{256}+\left(-\frac{1}{16}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{16} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=\frac{-1+1}{256}$$

Suma -\frac{1}{256} a \frac{1}{256} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}=0$$

Factoriza x^{2}-\frac{1}{8}x+\frac{1}{256}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar coma \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}=0$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{16}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifica.

$$x-\frac{1}{16}=0 x-\frac{1}{16}=0$$

Suma \frac{1}{16} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{1}{16} x=\frac{1}{16}$$

A ecuación está resolta. As solucións son iguais.

$$x=\frac{1}{16}$$