Resolver 25y^2+10y+1=0

$$25 y ^ { 2 } + 10 y + 1 = 0$$

Resolver y

$$y=-\frac{1}{5}=-0.2$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 25y^{2}+ay+by+1. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=10 ab=25\times 1=25$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 25.

$$1,25 5,5$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+25=26 5+5=10$$

A solución é a parella que fornece a suma 10.

$$a=5 b=5$$

Reescribe 25y^{2}+10y+1 como \left(25y^{2}+5y\right)+\left(5y+1\right).

$$\left(25y^{2}+5y\right)+\left(5y+1\right)$$

Factorizar 5y en 25y^{2}+5y.

$$5y\left(5y+1\right)+5y+1$$

Factoriza o termo común 5y+1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(5y+1\right)\left(5y+1\right)$$

Reescribe como cadrado de binomio.

$$\left(5y+1\right)^{2}$$

Para atopar a solución de ecuación, resolve 5y+1=0.

$$y=-\frac{1}{5}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$25y^{2}+10y+1=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 25, b por 10 e c por 1 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\times 25}}{2\times 25}$$

Eleva 10 ao cadrado.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100-4\times 25}}{2\times 25}$$

Multiplica -4 por 25.

$$y=\frac{-10±\sqrt{100-100}}{2\times 25}$$

Suma 100 a -100.

$$y=\frac{-10±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Obtén a raíz cadrada de 0.

$$y=-\frac{10}{2\times 25}$$

Multiplica 2 por 25.

$$y=-\frac{10}{50}$$

Reduce a fracción \frac{-10}{50} a termos máis baixos extraendo e cancelando 10.

$$y=-\frac{1}{5}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$25y^{2}+10y+1=0$$

Resta 1 en ambos lados da ecuación.

$$25y^{2}+10y+1-1=-1$$

Se restas 1 a si mesmo, quédache 0.

$$25y^{2}+10y=-1$$

Divide ambos lados entre 25.

$$\frac{25y^{2}+10y}{25}=-\frac{1}{25}$$

A división entre 25 desfai a multiplicación por 25.

$$y^{2}+\frac{10}{25}y=-\frac{1}{25}$$

Reduce a fracción \frac{10}{25} a termos máis baixos extraendo e cancelando 5.

$$y^{2}+\frac{2}{5}y=-\frac{1}{25}$$

Divide \frac{2}{5}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{1}{5}. Despois, suma o cadrado de \frac{1}{5} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$y^{2}+\frac{2}{5}y+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}=-\frac{1}{25}+\left(\frac{1}{5}\right)^{2}$$

Eleva \frac{1}{5} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$y^{2}+\frac{2}{5}y+\frac{1}{25}=\frac{-1+1}{25}$$

Suma -\frac{1}{25} a \frac{1}{25} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$y^{2}+\frac{2}{5}y+\frac{1}{25}=0$$

Factoriza y^{2}+\frac{2}{5}y+\frac{1}{25}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+\frac{1}{5}\right)^{2}=0$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(y+\frac{1}{5}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Simplifica.

$$y+\frac{1}{5}=0 y+\frac{1}{5}=0$$

Resta \frac{1}{5} en ambos lados da ecuación.

$$y=-\frac{1}{5} y=-\frac{1}{5}$$

A ecuación está resolta. As solucións son iguais.

$$y=-\frac{1}{5}$$