Resolver 25n^2-30n+9

$$25 n ^ { 2 } - 30 n + 9$$

Factorizar

$$\left(5n-3\right)^{2}$$

Pasos da solución

Factoriza a expresión mediante agrupamento. Primeiro, a expresión ten que volver escribirse como 25n^{2}+an+bn+9. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-30 ab=25\times 9=225$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 225.

$$-1,-225 -3,-75 -5,-45 -9,-25 -15,-15$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-225=-226 -3-75=-78 -5-45=-50 -9-25=-34 -15-15=-30$$

A solución é a parella que fornece a suma -30.

$$a=-15 b=-15$$

Reescribe 25n^{2}-30n+9 como \left(25n^{2}-15n\right)+\left(-15n+9\right).

$$\left(25n^{2}-15n\right)+\left(-15n+9\right)$$

Factoriza 5n no primeiro e -3 no grupo segundo.

$$5n\left(5n-3\right)-3\left(5n-3\right)$$

Factoriza o termo común 5n-3 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)$$

Reescribe como cadrado de binomio.

$$\left(5n-3\right)^{2}$$

Pasos que usan cadrado de binomial

Este trinomio ten a forma dun cadrado de trinomio, quizais multiplicado por un factor común. Os cadrados de trinomio pódense factorizar mediante o cálculo das raíces cadradas dos termos primeiro e último.

$$factor(25n^{2}-30n+9)$$

Obtén o máximo común divisor dos coeficientes.

$$gcf(25,-30,9)=1$$

Obtén a raíz cadrada do primeiro termo, 25n^{2}.

$$\sqrt{25n^{2}}=5n$$

Obtén a raíz cadrada do último termo, 9.

$$\sqrt{9}=3$$

O cadrado de trinomio é o cadrado de binomio que é a suma ou a diferenza das raíces cadradas dos termos primeiro e último, co signo determinado polo signo do termo central do cadrado de trinomio.

$$\left(5n-3\right)^{2}$$

Pasos que usan fórmula cadrática

O polinomio cadrático pode factorizarse coa transformación ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), onde x_{1} e x_{2} son as solucións á ecuación cadrática ax^{2}+bx+c=0.

$$25n^{2}-30n+9=0$$

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{\left(-30\right)^{2}-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

Eleva -30 ao cadrado.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-4\times 25\times 9}}{2\times 25}$$

Multiplica -4 por 25.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-100\times 9}}{2\times 25}$$

Multiplica -100 por 9.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{900-900}}{2\times 25}$$

Suma 900 a -900.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±\sqrt{0}}{2\times 25}$$

Obtén a raíz cadrada de 0.

$$n=\frac{-\left(-30\right)±0}{2\times 25}$$

O contrario de -30 é 30.

$$n=\frac{30±0}{2\times 25}$$

Multiplica 2 por 25.

$$n=\frac{30±0}{50}$$

Factoriza a expresión orixinal usando ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right). Substitúe \frac{3}{5} por x_{1} e \frac{3}{5} por x_{2}.

$$25n^{2}-30n+9=25\left(n-\frac{3}{5}\right)\left(n-\frac{3}{5}\right)$$

Resta \frac{3}{5} de n mediante o cálculo dun denominador común e a resta dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{5n-3}{5}\left(n-\frac{3}{5}\right)$$

Resta \frac{3}{5} de n mediante o cálculo dun denominador común e a resta dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{5n-3}{5}\times \frac{5n-3}{5}$$

Multiplica \frac{5n-3}{5} por \frac{5n-3}{5} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)}{5\times 5}$$

Multiplica 5 por 5.

$$25n^{2}-30n+9=25\times \frac{\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)}{25}$$

Descarta o máximo común divisor 25 en 25 e 25.

$$25n^{2}-30n+9=\left(5n-3\right)\left(5n-3\right)$$

Calcular

$$\left(5n-3\right)^{2}$$