Resolver 25x^2+250x-15000=0

$$25 { x }^{ 2 } +250x-15000=0$$

Resolver x

$$x=-30$$

$$x=20$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Divide ambos lados entre 25.

$$x^{2}+10x-600=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como x^{2}+ax+bx-600. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=10 ab=1\left(-600\right)=-600$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -600.

$$-1,600 -2,300 -3,200 -4,150 -5,120 -6,100 -8,75 -10,60 -12,50 -15,40 -20,30 -24,25$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+600=599 -2+300=298 -3+200=197 -4+150=146 -5+120=115 -6+100=94 -8+75=67 -10+60=50 -12+50=38 -15+40=25 -20+30=10 -24+25=1$$

A solución é a parella que fornece a suma 10.

$$a=-20 b=30$$

Reescribe x^{2}+10x-600 como \left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right).

$$\left(x^{2}-20x\right)+\left(30x-600\right)$$

Factoriza x no primeiro e 30 no grupo segundo.

$$x\left(x-20\right)+30\left(x-20\right)$$

Factoriza o termo común x-20 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-20\right)\left(x+30\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-20=0 e x+30=0.

$$x=20 x=-30$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 25, b por 250 e c por -15000 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-250±\sqrt{250^{2}-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Eleva 250 ao cadrado.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-4\times 25\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Multiplica -4 por 25.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-100\left(-15000\right)}}{2\times 25}$$

Multiplica -100 por -15000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500+1500000}}{2\times 25}$$

Suma 62500 a 1500000.

$$x=\frac{-250±\sqrt{1562500}}{2\times 25}$$

Obtén a raíz cadrada de 1562500.

$$x=\frac{-250±1250}{2\times 25}$$

Multiplica 2 por 25.

$$x=\frac{-250±1250}{50}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-250±1250}{50} se ± é máis. Suma -250 a 1250.

$$x=\frac{1000}{50}$$

Divide 1000 entre 50.

$$x=20$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-250±1250}{50} se ± é menos. Resta 1250 de -250.

$$x=-\frac{1500}{50}$$

Divide -1500 entre 50.

$$x=-30$$

A ecuación está resolta.

$$x=20 x=-30$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$25x^{2}+250x-15000=0$$

Suma 15000 en ambos lados da ecuación.

$$25x^{2}+250x-15000-\left(-15000\right)=-\left(-15000\right)$$

Se restas -15000 a si mesmo, quédache 0.

$$25x^{2}+250x=-\left(-15000\right)$$

Resta -15000 de 0.

$$25x^{2}+250x=15000$$

Divide ambos lados entre 25.

$$\frac{25x^{2}+250x}{25}=\frac{15000}{25}$$

A división entre 25 desfai a multiplicación por 25.

$$x^{2}+\frac{250}{25}x=\frac{15000}{25}$$

Divide 250 entre 25.

$$x^{2}+10x=\frac{15000}{25}$$

Divide 15000 entre 25.

$$x^{2}+10x=600$$

Divide 10, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter 5. Despois, suma o cadrado de 5 en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+10x+5^{2}=600+5^{2}$$

Eleva 5 ao cadrado.

$$x^{2}+10x+25=600+25$$

Suma 600 a 25.

$$x^{2}+10x+25=625$$

Factoriza x^{2}+10x+25. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+5\right)^{2}=625$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+5\right)^{2}}=\sqrt{625}$$

Simplifica.

$$x+5=25 x+5=-25$$

Resta 5 en ambos lados da ecuación.

$$x=20 x=-30$$