Resolver 248x^2-6x-144=0

$$248 x ^ { 2 } - 6 x - 144 = 0$$

Resolver x

$$x=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$x=\frac{24}{31}\approx 0.774193548$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Divide ambos lados entre 2.

$$124x^{2}-3x-72=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 124x^{2}+ax+bx-72. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-3 ab=124\left(-72\right)=-8928$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -8928.

$$1,-8928 2,-4464 3,-2976 4,-2232 6,-1488 8,-1116 9,-992 12,-744 16,-558 18,-496 24,-372 31,-288 32,-279 36,-248 48,-186 62,-144 72,-124 93,-96$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-8928=-8927 2-4464=-4462 3-2976=-2973 4-2232=-2228 6-1488=-1482 8-1116=-1108 9-992=-983 12-744=-732 16-558=-542 18-496=-478 24-372=-348 31-288=-257 32-279=-247 36-248=-212 48-186=-138 62-144=-82 72-124=-52 93-96=-3$$

A solución é a parella que fornece a suma -3.

$$a=-96 b=93$$

Reescribe 124x^{2}-3x-72 como \left(124x^{2}-96x\right)+\left(93x-72\right).

$$\left(124x^{2}-96x\right)+\left(93x-72\right)$$

Factoriza 4x no primeiro e 3 no grupo segundo.

$$4x\left(31x-24\right)+3\left(31x-24\right)$$

Factoriza o termo común 31x-24 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(31x-24\right)\left(4x+3\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 31x-24=0 e 4x+3=0.

$$x=\frac{24}{31} x=-\frac{3}{4}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$248x^{2}-6x-144=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 248, b por -6 e c por -144 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 248\left(-144\right)}}{2\times 248}$$

Eleva -6 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 248\left(-144\right)}}{2\times 248}$$

Multiplica -4 por 248.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-992\left(-144\right)}}{2\times 248}$$

Multiplica -992 por -144.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+142848}}{2\times 248}$$

Suma 36 a 142848.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{142884}}{2\times 248}$$

Obtén a raíz cadrada de 142884.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±378}{2\times 248}$$

O contrario de -6 é 6.

$$x=\frac{6±378}{2\times 248}$$

Multiplica 2 por 248.

$$x=\frac{6±378}{496}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{6±378}{496} se ± é máis. Suma 6 a 378.

$$x=\frac{384}{496}$$

Reduce a fracción \frac{384}{496} a termos máis baixos extraendo e cancelando 16.

$$x=\frac{24}{31}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{6±378}{496} se ± é menos. Resta 378 de 6.

$$x=-\frac{372}{496}$$

Reduce a fracción \frac{-372}{496} a termos máis baixos extraendo e cancelando 124.

$$x=-\frac{3}{4}$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{24}{31} x=-\frac{3}{4}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$248x^{2}-6x-144=0$$

Suma 144 en ambos lados da ecuación.

$$248x^{2}-6x-144-\left(-144\right)=-\left(-144\right)$$

Se restas -144 a si mesmo, quédache 0.

$$248x^{2}-6x=-\left(-144\right)$$

Resta -144 de 0.

$$248x^{2}-6x=144$$

Divide ambos lados entre 248.

$$\frac{248x^{2}-6x}{248}=\frac{144}{248}$$

A división entre 248 desfai a multiplicación por 248.

$$x^{2}+\left(-\frac{6}{248}\right)x=\frac{144}{248}$$

Reduce a fracción \frac{-6}{248} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x^{2}-\frac{3}{124}x=\frac{144}{248}$$

Reduce a fracción \frac{144}{248} a termos máis baixos extraendo e cancelando 8.

$$x^{2}-\frac{3}{124}x=\frac{18}{31}$$

Divide -\frac{3}{124}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{3}{248}. Despois, suma o cadrado de -\frac{3}{248} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{3}{124}x+\left(-\frac{3}{248}\right)^{2}=\frac{18}{31}+\left(-\frac{3}{248}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{3}{248} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{3}{124}x+\frac{9}{61504}=\frac{18}{31}+\frac{9}{61504}$$

Suma \frac{18}{31} a \frac{9}{61504} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}-\frac{3}{124}x+\frac{9}{61504}=\frac{35721}{61504}$$

Factoriza x^{2}-\frac{3}{124}x+\frac{9}{61504}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{248}\right)^{2}=\frac{35721}{61504}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{248}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{35721}{61504}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{3}{248}=\frac{189}{248} x-\frac{3}{248}=-\frac{189}{248}$$

Suma \frac{3}{248} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{24}{31} x=-\frac{3}{4}$$