Resolver 24x^2-38x+15=0

$$24 { x }^{ 2 } -38x+15=0$$

Resolver x

$$x=\frac{3}{4}=0.75$$

$$x=\frac{5}{6}\approx 0.833333333$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 24x^{2}+ax+bx+15. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-38 ab=24\times 15=360$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 360.

$$-1,-360 -2,-180 -3,-120 -4,-90 -5,-72 -6,-60 -8,-45 -9,-40 -10,-36 -12,-30 -15,-24 -18,-20$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-360=-361 -2-180=-182 -3-120=-123 -4-90=-94 -5-72=-77 -6-60=-66 -8-45=-53 -9-40=-49 -10-36=-46 -12-30=-42 -15-24=-39 -18-20=-38$$

A solución é a parella que fornece a suma -38.

$$a=-20 b=-18$$

Reescribe 24x^{2}-38x+15 como \left(24x^{2}-20x\right)+\left(-18x+15\right).

$$\left(24x^{2}-20x\right)+\left(-18x+15\right)$$

Factoriza 4x no primeiro e -3 no grupo segundo.

$$4x\left(6x-5\right)-3\left(6x-5\right)$$

Factoriza o termo común 6x-5 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(6x-5\right)\left(4x-3\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 6x-5=0 e 4x-3=0.

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{3}{4}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$24x^{2}-38x+15=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 24, b por -38 e c por 15 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{\left(-38\right)^{2}-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

Eleva -38 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-4\times 24\times 15}}{2\times 24}$$

Multiplica -4 por 24.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-96\times 15}}{2\times 24}$$

Multiplica -96 por 15.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{1444-1440}}{2\times 24}$$

Suma 1444 a -1440.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±\sqrt{4}}{2\times 24}$$

Obtén a raíz cadrada de 4.

$$x=\frac{-\left(-38\right)±2}{2\times 24}$$

O contrario de -38 é 38.

$$x=\frac{38±2}{2\times 24}$$

Multiplica 2 por 24.

$$x=\frac{38±2}{48}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{38±2}{48} se ± é máis. Suma 38 a 2.

$$x=\frac{40}{48}$$

Reduce a fracción \frac{40}{48} a termos máis baixos extraendo e cancelando 8.

$$x=\frac{5}{6}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{38±2}{48} se ± é menos. Resta 2 de 38.

$$x=\frac{36}{48}$$

Reduce a fracción \frac{36}{48} a termos máis baixos extraendo e cancelando 12.

$$x=\frac{3}{4}$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{3}{4}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$24x^{2}-38x+15=0$$

Resta 15 en ambos lados da ecuación.

$$24x^{2}-38x+15-15=-15$$

Se restas 15 a si mesmo, quédache 0.

$$24x^{2}-38x=-15$$

Divide ambos lados entre 24.

$$\frac{24x^{2}-38x}{24}=-\frac{15}{24}$$

A división entre 24 desfai a multiplicación por 24.

$$x^{2}+\left(-\frac{38}{24}\right)x=-\frac{15}{24}$$

Reduce a fracción \frac{-38}{24} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x=-\frac{15}{24}$$

Reduce a fracción \frac{-15}{24} a termos máis baixos extraendo e cancelando 3.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x=-\frac{5}{8}$$

Divide -\frac{19}{12}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{19}{24}. Despois, suma o cadrado de -\frac{19}{24} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x+\left(-\frac{19}{24}\right)^{2}=-\frac{5}{8}+\left(-\frac{19}{24}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{19}{24} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x+\frac{361}{576}=-\frac{5}{8}+\frac{361}{576}$$

Suma -\frac{5}{8} a \frac{361}{576} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}-\frac{19}{12}x+\frac{361}{576}=\frac{1}{576}$$

Factoriza x^{2}-\frac{19}{12}x+\frac{361}{576}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{19}{24}\right)^{2}=\frac{1}{576}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{19}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{576}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{19}{24}=\frac{1}{24} x-\frac{19}{24}=-\frac{1}{24}$$

Suma \frac{19}{24} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{5}{6} x=\frac{3}{4}$$