Resolver 21q^2+37q+12=0

$$21 q ^ { 2 } + 37 q + 12 = 0$$

Resolver q

$$q = -\frac{4}{3} = -1\frac{1}{3} \approx -1.333333333$$

$$q=-\frac{3}{7}\approx -0.428571429$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 21q^{2}+aq+bq+12. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=37 ab=21\times 12=252$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 252.

$$1,252 2,126 3,84 4,63 6,42 7,36 9,28 12,21 14,18$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+252=253 2+126=128 3+84=87 4+63=67 6+42=48 7+36=43 9+28=37 12+21=33 14+18=32$$

A solución é a parella que fornece a suma 37.

$$a=9 b=28$$

Reescribe 21q^{2}+37q+12 como \left(21q^{2}+9q\right)+\left(28q+12\right).

$$\left(21q^{2}+9q\right)+\left(28q+12\right)$$

Factoriza 3q no primeiro e 4 no grupo segundo.

$$3q\left(7q+3\right)+4\left(7q+3\right)$$

Factoriza o termo común 7q+3 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(7q+3\right)\left(3q+4\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 7q+3=0 e 3q+4=0.

$$q=-\frac{3}{7} q=-\frac{4}{3}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$21q^{2}+37q+12=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 21, b por 37 e c por 12 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$q=\frac{-37±\sqrt{37^{2}-4\times 21\times 12}}{2\times 21}$$

Eleva 37 ao cadrado.

$$q=\frac{-37±\sqrt{1369-4\times 21\times 12}}{2\times 21}$$

Multiplica -4 por 21.

$$q=\frac{-37±\sqrt{1369-84\times 12}}{2\times 21}$$

Multiplica -84 por 12.

$$q=\frac{-37±\sqrt{1369-1008}}{2\times 21}$$

Suma 1369 a -1008.

$$q=\frac{-37±\sqrt{361}}{2\times 21}$$

Obtén a raíz cadrada de 361.

$$q=\frac{-37±19}{2\times 21}$$

Multiplica 2 por 21.

$$q=\frac{-37±19}{42}$$

Agora resolve a ecuación q=\frac{-37±19}{42} se ± é máis. Suma -37 a 19.

$$q=-\frac{18}{42}$$

Reduce a fracción \frac{-18}{42} a termos máis baixos extraendo e cancelando 6.

$$q=-\frac{3}{7}$$

Agora resolve a ecuación q=\frac{-37±19}{42} se ± é menos. Resta 19 de -37.

$$q=-\frac{56}{42}$$

Reduce a fracción \frac{-56}{42} a termos máis baixos extraendo e cancelando 14.

$$q=-\frac{4}{3}$$

A ecuación está resolta.

$$q=-\frac{3}{7} q=-\frac{4}{3}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$21q^{2}+37q+12=0$$

Resta 12 en ambos lados da ecuación.

$$21q^{2}+37q+12-12=-12$$

Se restas 12 a si mesmo, quédache 0.

$$21q^{2}+37q=-12$$

Divide ambos lados entre 21.

$$\frac{21q^{2}+37q}{21}=-\frac{12}{21}$$

A división entre 21 desfai a multiplicación por 21.

$$q^{2}+\frac{37}{21}q=-\frac{12}{21}$$

Reduce a fracción \frac{-12}{21} a termos máis baixos extraendo e cancelando 3.

$$q^{2}+\frac{37}{21}q=-\frac{4}{7}$$

Divide \frac{37}{21}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{37}{42}. Despois, suma o cadrado de \frac{37}{42} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$q^{2}+\frac{37}{21}q+\left(\frac{37}{42}\right)^{2}=-\frac{4}{7}+\left(\frac{37}{42}\right)^{2}$$

Eleva \frac{37}{42} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$q^{2}+\frac{37}{21}q+\frac{1369}{1764}=-\frac{4}{7}+\frac{1369}{1764}$$

Suma -\frac{4}{7} a \frac{1369}{1764} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$q^{2}+\frac{37}{21}q+\frac{1369}{1764}=\frac{361}{1764}$$

Factoriza q^{2}+\frac{37}{21}q+\frac{1369}{1764}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(q+\frac{37}{42}\right)^{2}=\frac{361}{1764}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(q+\frac{37}{42}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{1764}}$$

Simplifica.

$$q+\frac{37}{42}=\frac{19}{42} q+\frac{37}{42}=-\frac{19}{42}$$

Resta \frac{37}{42} en ambos lados da ecuación.

$$q=-\frac{3}{7} q=-\frac{4}{3}$$