Resolver 20p^2+33p+16=6

$$20 p ^ { 2 } + 33 p + 16 = 6$$

Resolver p

$$p = -\frac{5}{4} = -1\frac{1}{4} = -1.25$$

$$p=-\frac{2}{5}=-0.4$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Resta 6 en ambos lados.

$$20p^{2}+33p+16-6=0$$

Resta 6 de 16 para obter 10.

$$20p^{2}+33p+10=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 20p^{2}+ap+bp+10. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=33 ab=20\times 10=200$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 200.

$$1,200 2,100 4,50 5,40 8,25 10,20$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+200=201 2+100=102 4+50=54 5+40=45 8+25=33 10+20=30$$

A solución é a parella que fornece a suma 33.

$$a=8 b=25$$

Reescribe 20p^{2}+33p+10 como \left(20p^{2}+8p\right)+\left(25p+10\right).

$$\left(20p^{2}+8p\right)+\left(25p+10\right)$$

Factoriza 4p no primeiro e 5 no grupo segundo.

$$4p\left(5p+2\right)+5\left(5p+2\right)$$

Factoriza o termo común 5p+2 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(5p+2\right)\left(4p+5\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 5p+2=0 e 4p+5=0.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$20p^{2}+33p+16=6$$

Resta 6 en ambos lados da ecuación.

$$20p^{2}+33p+16-6=6-6$$

Se restas 6 a si mesmo, quédache 0.

$$20p^{2}+33p+16-6=0$$

Resta 6 de 16.

$$20p^{2}+33p+10=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 20, b por 33 e c por 10 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$p=\frac{-33±\sqrt{33^{2}-4\times 20\times 10}}{2\times 20}$$

Eleva 33 ao cadrado.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-4\times 20\times 10}}{2\times 20}$$

Multiplica -4 por 20.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-80\times 10}}{2\times 20}$$

Multiplica -80 por 10.

$$p=\frac{-33±\sqrt{1089-800}}{2\times 20}$$

Suma 1089 a -800.

$$p=\frac{-33±\sqrt{289}}{2\times 20}$$

Obtén a raíz cadrada de 289.

$$p=\frac{-33±17}{2\times 20}$$

Multiplica 2 por 20.

$$p=\frac{-33±17}{40}$$

Agora resolve a ecuación p=\frac{-33±17}{40} se ± é máis. Suma -33 a 17.

$$p=-\frac{16}{40}$$

Reduce a fracción \frac{-16}{40} a termos máis baixos extraendo e cancelando 8.

$$p=-\frac{2}{5}$$

Agora resolve a ecuación p=\frac{-33±17}{40} se ± é menos. Resta 17 de -33.

$$p=-\frac{50}{40}$$

Reduce a fracción \frac{-50}{40} a termos máis baixos extraendo e cancelando 10.

$$p=-\frac{5}{4}$$

A ecuación está resolta.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$20p^{2}+33p+16=6$$

Resta 16 en ambos lados da ecuación.

$$20p^{2}+33p+16-16=6-16$$

Se restas 16 a si mesmo, quédache 0.

$$20p^{2}+33p=6-16$$

Resta 16 de 6.

$$20p^{2}+33p=-10$$

Divide ambos lados entre 20.

$$\frac{20p^{2}+33p}{20}=-\frac{10}{20}$$

A división entre 20 desfai a multiplicación por 20.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p=-\frac{10}{20}$$

Reduce a fracción \frac{-10}{20} a termos máis baixos extraendo e cancelando 10.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p=-\frac{1}{2}$$

Divide \frac{33}{20}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{33}{40}. Despois, suma o cadrado de \frac{33}{40} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\left(\frac{33}{40}\right)^{2}=-\frac{1}{2}+\left(\frac{33}{40}\right)^{2}$$

Eleva \frac{33}{40} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}=-\frac{1}{2}+\frac{1089}{1600}$$

Suma -\frac{1}{2} a \frac{1089}{1600} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}=\frac{289}{1600}$$

Factoriza p^{2}+\frac{33}{20}p+\frac{1089}{1600}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p+\frac{33}{40}\right)^{2}=\frac{289}{1600}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(p+\frac{33}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{289}{1600}}$$

Simplifica.

$$p+\frac{33}{40}=\frac{17}{40} p+\frac{33}{40}=-\frac{17}{40}$$

Resta \frac{33}{40} en ambos lados da ecuación.

$$p=-\frac{2}{5} p=-\frac{5}{4}$$