Resolver 20x^2-x-1=0

$$20 { x }^{ 2 } -x-1 = 0$$

Resolver x

$$x=-\frac{1}{5}=-0.2$$

$$x=\frac{1}{4}=0.25$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 20x^{2}+ax+bx-1. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-1 ab=20\left(-1\right)=-20$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -20.

$$1,-20 2,-10 4,-5$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-20=-19 2-10=-8 4-5=-1$$

A solución é a parella que fornece a suma -1.

$$a=-5 b=4$$

Reescribe 20x^{2}-x-1 como \left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right).

$$\left(20x^{2}-5x\right)+\left(4x-1\right)$$

Factorizar 5x en 20x^{2}-5x.

$$5x\left(4x-1\right)+4x-1$$

Factoriza o termo común 4x-1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(4x-1\right)\left(5x+1\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 4x-1=0 e 5x+1=0.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 20, b por -1 e c por -1 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 20\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Multiplica -4 por 20.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-80\left(-1\right)}}{2\times 20}$$

Multiplica -80 por -1.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+80}}{2\times 20}$$

Suma 1 a 80.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{81}}{2\times 20}$$

Obtén a raíz cadrada de 81.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±9}{2\times 20}$$

O contrario de -1 é 1.

$$x=\frac{1±9}{2\times 20}$$

Multiplica 2 por 20.

$$x=\frac{1±9}{40}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{1±9}{40} se ± é máis. Suma 1 a 9.

$$x=\frac{10}{40}$$

Reduce a fracción \frac{10}{40} a termos máis baixos extraendo e cancelando 10.

$$x=\frac{1}{4}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{1±9}{40} se ± é menos. Resta 9 de 1.

$$x=-\frac{8}{40}$$

Reduce a fracción \frac{-8}{40} a termos máis baixos extraendo e cancelando 8.

$$x=-\frac{1}{5}$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$20x^{2}-x-1=0$$

Suma 1 en ambos lados da ecuación.

$$20x^{2}-x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Se restas -1 a si mesmo, quédache 0.

$$20x^{2}-x=-\left(-1\right)$$

Resta -1 de 0.

$$20x^{2}-x=1$$

Divide ambos lados entre 20.

$$\frac{20x^{2}-x}{20}=\frac{1}{20}$$

A división entre 20 desfai a multiplicación por 20.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x=\frac{1}{20}$$

Divide -\frac{1}{20}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{1}{40}. Despois, suma o cadrado de -\frac{1}{40} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{1}{20}+\left(-\frac{1}{40}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{1}{40} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{1}{20}+\frac{1}{1600}$$

Suma \frac{1}{20} a \frac{1}{1600} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}=\frac{81}{1600}$$

Factoriza x^{2}-\frac{1}{20}x+\frac{1}{1600}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}=\frac{81}{1600}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{40}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{1600}}$$

Simplifica.

$$x-\frac{1}{40}=\frac{9}{40} x-\frac{1}{40}=-\frac{9}{40}$$

Suma \frac{1}{40} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{1}{4} x=-\frac{1}{5}$$