Resolver 2z^2-5z=12

$$2 z ^ { 2 } - 5 z = 12$$

Resolver z

$$z = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1.5$$

$$z=4$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Resta 12 en ambos lados.

$$2z^{2}-5z-12=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 2z^{2}+az+bz-12. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-5 ab=2\left(-12\right)=-24$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é negativo, o número negativo ten maior valor absoluto que o positivo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -24.

$$1,-24 2,-12 3,-8 4,-6$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1-24=-23 2-12=-10 3-8=-5 4-6=-2$$

A solución é a parella que fornece a suma -5.

$$a=-8 b=3$$

Reescribe 2z^{2}-5z-12 como \left(2z^{2}-8z\right)+\left(3z-12\right).

$$\left(2z^{2}-8z\right)+\left(3z-12\right)$$

Factoriza 2z no primeiro e 3 no grupo segundo.

$$2z\left(z-4\right)+3\left(z-4\right)$$

Factoriza o termo común z-4 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(z-4\right)\left(2z+3\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve z-4=0 e 2z+3=0.

$$z=4 z=-\frac{3}{2}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$2z^{2}-5z=12$$

Resta 12 en ambos lados da ecuación.

$$2z^{2}-5z-12=12-12$$

Se restas 12 a si mesmo, quédache 0.

$$2z^{2}-5z-12=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 2, b por -5 e c por -12 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Eleva -5 ao cadrado.

$$z=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 2\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Multiplica -4 por 2.

$$z=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-8\left(-12\right)}}{2\times 2}$$

Multiplica -8 por -12.

$$z=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+96}}{2\times 2}$$

Suma 25 a 96.

$$z=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{121}}{2\times 2}$$

Obtén a raíz cadrada de 121.

$$z=\frac{-\left(-5\right)±11}{2\times 2}$$

O contrario de -5 é 5.

$$z=\frac{5±11}{2\times 2}$$

Multiplica 2 por 2.

$$z=\frac{5±11}{4}$$

Agora resolve a ecuación z=\frac{5±11}{4} se ± é máis. Suma 5 a 11.

$$z=\frac{16}{4}$$

Divide 16 entre 4.

$$z=4$$

Agora resolve a ecuación z=\frac{5±11}{4} se ± é menos. Resta 11 de 5.

$$z=-\frac{6}{4}$$

Reduce a fracción \frac{-6}{4} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$z=-\frac{3}{2}$$

A ecuación está resolta.

$$z=4 z=-\frac{3}{2}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$2z^{2}-5z=12$$

Divide ambos lados entre 2.

$$\frac{2z^{2}-5z}{2}=\frac{12}{2}$$

A división entre 2 desfai a multiplicación por 2.

$$z^{2}-\frac{5}{2}z=\frac{12}{2}$$

Divide 12 entre 2.

$$z^{2}-\frac{5}{2}z=6$$

Divide -\frac{5}{2}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -\frac{5}{4}. Despois, suma o cadrado de -\frac{5}{4} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$z^{2}-\frac{5}{2}z+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}=6+\left(-\frac{5}{4}\right)^{2}$$

Eleva -\frac{5}{4} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$z^{2}-\frac{5}{2}z+\frac{25}{16}=6+\frac{25}{16}$$

Suma 6 a \frac{25}{16}.

$$z^{2}-\frac{5}{2}z+\frac{25}{16}=\frac{121}{16}$$

Factoriza z^{2}-\frac{5}{2}z+\frac{25}{16}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z-\frac{5}{4}\right)^{2}=\frac{121}{16}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(z-\frac{5}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{16}}$$

Simplifica.

$$z-\frac{5}{4}=\frac{11}{4} z-\frac{5}{4}=-\frac{11}{4}$$

Suma \frac{5}{4} en ambos lados da ecuación.

$$z=4 z=-\frac{3}{2}$$