Resolver 2z^2+11z+18=0

$$2 z ^ { 2 } + 11 z + 18 = 0$$

Resolver z

$$z=\frac{-11+\sqrt{23}i}{4}\approx -2.75+1.198957881i$$

$$z=\frac{-\sqrt{23}i-11}{4}\approx -2.75-1.198957881i$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$2z^{2}+11z+18=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 2, b por 11 e c por 18 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 2\times 18}}{2\times 2}$$

Eleva 11 ao cadrado.

$$z=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 2\times 18}}{2\times 2}$$

Multiplica -4 por 2.

$$z=\frac{-11±\sqrt{121-8\times 18}}{2\times 2}$$

Multiplica -8 por 18.

$$z=\frac{-11±\sqrt{121-144}}{2\times 2}$$

Suma 121 a -144.

$$z=\frac{-11±\sqrt{-23}}{2\times 2}$$

Obtén a raíz cadrada de -23.

$$z=\frac{-11±\sqrt{23}i}{2\times 2}$$

Multiplica 2 por 2.

$$z=\frac{-11±\sqrt{23}i}{4}$$

Agora resolve a ecuación z=\frac{-11±\sqrt{23}i}{4} se ± é máis. Suma -11 a i\sqrt{23}.

$$z=\frac{-11+\sqrt{23}i}{4}$$

Agora resolve a ecuación z=\frac{-11±\sqrt{23}i}{4} se ± é menos. Resta i\sqrt{23} de -11.

$$z=\frac{-\sqrt{23}i-11}{4}$$

A ecuación está resolta.

$$z=\frac{-11+\sqrt{23}i}{4} z=\frac{-\sqrt{23}i-11}{4}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$2z^{2}+11z+18=0$$

Resta 18 en ambos lados da ecuación.

$$2z^{2}+11z+18-18=-18$$

Se restas 18 a si mesmo, quédache 0.

$$2z^{2}+11z=-18$$

Divide ambos lados entre 2.

$$\frac{2z^{2}+11z}{2}=-\frac{18}{2}$$

A división entre 2 desfai a multiplicación por 2.

$$z^{2}+\frac{11}{2}z=-\frac{18}{2}$$

Divide -18 entre 2.

$$z^{2}+\frac{11}{2}z=-9$$

Divide \frac{11}{2}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{11}{4}. Despois, suma o cadrado de \frac{11}{4} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$z^{2}+\frac{11}{2}z+\left(\frac{11}{4}\right)^{2}=-9+\left(\frac{11}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{11}{4} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$z^{2}+\frac{11}{2}z+\frac{121}{16}=-9+\frac{121}{16}$$

Suma -9 a \frac{121}{16}.

$$z^{2}+\frac{11}{2}z+\frac{121}{16}=-\frac{23}{16}$$

Factoriza z^{2}+\frac{11}{2}z+\frac{121}{16}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+\frac{11}{4}\right)^{2}=-\frac{23}{16}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(z+\frac{11}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{23}{16}}$$

Simplifica.

$$z+\frac{11}{4}=\frac{\sqrt{23}i}{4} z+\frac{11}{4}=-\frac{\sqrt{23}i}{4}$$

Resta \frac{11}{4} en ambos lados da ecuación.

$$z=\frac{-11+\sqrt{23}i}{4} z=\frac{-\sqrt{23}i-11}{4}$$