Resolver 2x-3y+10=0quadtext{KaHa}5x-y+4=0

$$2 x - 3 y + 10 = 0 \quad \text { KaHa } 5 x - y + 4 = 0$$

Resolver x, y

$$x=-\frac{2}{13}\approx -0.153846154$$

$$y = \frac{42}{13} = 3\frac{3}{13} \approx 3.230769231$$

Pasos que usan substitución

Para resolver un par de ecuacións mediante substitución, resolve primeiro unha das variables nunha das ecuacións. Despois, substitúe o resultado desa variable na outra ecuación.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Escolle unha das ecuacións e despexa a x mediante o illamento de x no lado esquerdo do signo igual.

$$2x-3y+10=0$$

Resta 10 en ambos lados da ecuación.

$$2x-3y=-10$$

Suma 3y en ambos lados da ecuación.

$$2x=3y-10$$

Divide ambos lados entre 2.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-10\right)$$

Multiplica \frac{1}{2} por 3y-10.

$$x=\frac{3}{2}y-5$$

Substitúe x por \frac{3y}{2}-5 na outra ecuación, 5x-y+4=0.

$$5\left(\frac{3}{2}y-5\right)-y+4=0$$

Multiplica 5 por \frac{3y}{2}-5.

$$\frac{15}{2}y-25-y+4=0$$

Suma \frac{15y}{2} a -y.

$$\frac{13}{2}y-25+4=0$$

Suma -25 a 4.

$$\frac{13}{2}y-21=0$$

Suma 21 en ambos lados da ecuación.

$$\frac{13}{2}y=21$$

Divide ambos lados da ecuación entre \frac{13}{2}, o que é igual a multiplicar ambos lados polo recíproco da fracción.

$$y=\frac{42}{13}$$

Substitúe y por \frac{42}{13} en x=\frac{3}{2}y-5. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{42}{13}-5$$

Multiplica \frac{3}{2} por \frac{42}{13} mediante a multiplicación do numerador polo numerador e do denominador polo denominador. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x=\frac{63}{13}-5$$

Suma -5 a \frac{63}{13}.

$$x=-\frac{2}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Pasos que usan matrices

Converte as ecuacións a forma estándar e logo usa matrices para resolver o sistema de ecuacións.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Escribe as ecuacións en forma matricial.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica a ecuación pola matriz inversa de \left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

O produto dunha matriz e o seu inverso é a matriz de identidade.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices no lado esquerdo do signo igual.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\5&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

A matriz inversa da matriz 2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) é \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), polo que a ecuación da matriz se pode escribir como un problema de multiplicación de matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&-\frac{-3}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\\-\frac{5}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}&\frac{2}{2\left(-1\right)-\left(-3\times 5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{5}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-10\\-4\end{matrix}\right)$$

Multiplica as matrices.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\left(-10\right)+\frac{3}{13}\left(-4\right)\\-\frac{5}{13}\left(-10\right)+\frac{2}{13}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

Fai o cálculo.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{13}\\\frac{42}{13}\end{matrix}\right)$$

Extrae os elementos da matriz x e y.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$

Pasos que usan eliminación

Para resolver por eliminación, os coeficientes dunha das variables deben ser iguais en ambas ecuacións de xeito que a variable se anule cando unha ecuación se reste da outra.

$$2x-3y+10=0,5x-y+4=0$$

Para que 2x e 5x sexan iguais, multiplica todos os termos a cada lado da primeira ecuación por 5 e todos os termos a cada lado da segunda por 2.

$$5\times 2x+5\left(-3\right)y+5\times 10=0,2\times 5x+2\left(-1\right)y+2\times 4=0$$

Simplifica.

$$10x-15y+50=0,10x-2y+8=0$$

Resta 10x-2y+8=0 de 10x-15y+50=0 mediante a resta de termos semellantes en ambos lados do signo igual.

$$10x-10x-15y+2y+50-8=0$$

Suma 10x a -10x. 10x e -10x anúlanse, polo que queda unha ecuación cunha única variable que se pode resolver.

$$-15y+2y+50-8=0$$

Suma -15y a 2y.

$$-13y+50-8=0$$

Suma 50 a -8.

$$-13y+42=0$$

Resta 42 en ambos lados da ecuación.

$$-13y=-42$$

Divide ambos lados entre -13.

$$y=\frac{42}{13}$$

Substitúe y por \frac{42}{13} en 5x-y+4=0. Dado que a ecuación resultante contén só unha variable, pódese despexar x directamente.

$$5x-\frac{42}{13}+4=0$$

Suma -\frac{42}{13} a 4.

$$5x+\frac{10}{13}=0$$

Resta \frac{10}{13} en ambos lados da ecuación.

$$5x=-\frac{10}{13}$$

Divide ambos lados entre 5.

$$x=-\frac{2}{13}$$

O sistema xa funciona correctamente.

$$x=-\frac{2}{13},y=\frac{42}{13}$$