Resolver 2x^2-24x+54=0

$$2 x ^ { 2 } - 24 x + 54 = 0$$

Resolver x

$$x=3$$

$$x=9$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Divide ambos lados entre 2.

$$x^{2}-12x+27=0$$

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como x^{2}+ax+bx+27. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=-12 ab=1\times 27=27$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é negativo, a e b son os dous negativos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 27.

$$-1,-27 -3,-9$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1-27=-28 -3-9=-12$$

A solución é a parella que fornece a suma -12.

$$a=-9 b=-3$$

Reescribe x^{2}-12x+27 como \left(x^{2}-9x\right)+\left(-3x+27\right).

$$\left(x^{2}-9x\right)+\left(-3x+27\right)$$

Factoriza x no primeiro e -3 no grupo segundo.

$$x\left(x-9\right)-3\left(x-9\right)$$

Factoriza o termo común x-9 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-9\right)\left(x-3\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-9=0 e x-3=0.

$$x=9 x=3$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$2x^{2}-24x+54=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 2, b por -24 e c por 54 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Eleva -24 ao cadrado.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\times 2\times 54}}{2\times 2}$$

Multiplica -4 por 2.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-8\times 54}}{2\times 2}$$

Multiplica -8 por 54.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-432}}{2\times 2}$$

Suma 576 a -432.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{144}}{2\times 2}$$

Obtén a raíz cadrada de 144.

$$x=\frac{-\left(-24\right)±12}{2\times 2}$$

O contrario de -24 é 24.

$$x=\frac{24±12}{2\times 2}$$

Multiplica 2 por 2.

$$x=\frac{24±12}{4}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{24±12}{4} se ± é máis. Suma 24 a 12.

$$x=\frac{36}{4}$$

Divide 36 entre 4.

$$x=9$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{24±12}{4} se ± é menos. Resta 12 de 24.

$$x=\frac{12}{4}$$

Divide 12 entre 4.

$$x=3$$

A ecuación está resolta.

$$x=9 x=3$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}-24x+54=0$$

Resta 54 en ambos lados da ecuación.

$$2x^{2}-24x+54-54=-54$$

Se restas 54 a si mesmo, quédache 0.

$$2x^{2}-24x=-54$$

Divide ambos lados entre 2.

$$\frac{2x^{2}-24x}{2}=-\frac{54}{2}$$

A división entre 2 desfai a multiplicación por 2.

$$x^{2}+\left(-\frac{24}{2}\right)x=-\frac{54}{2}$$

Divide -24 entre 2.

$$x^{2}-12x=-\frac{54}{2}$$

Divide -54 entre 2.

$$x^{2}-12x=-27$$

Divide -12, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter -6. Despois, suma o cadrado de -6 en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-27+\left(-6\right)^{2}$$

Eleva -6 ao cadrado.

$$x^{2}-12x+36=-27+36$$

Suma -27 a 36.

$$x^{2}-12x+36=9$$

Factoriza x^{2}-12x+36. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=9$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{9}$$

Simplifica.

$$x-6=3 x-6=-3$$

Suma 6 en ambos lados da ecuación.

$$x=9 x=3$$