Resolver 2x^2+7x-15=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x - 15 = 0$$

Resolver x

$$x=-5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1.5$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 2x^{2}+ax+bx-15. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=7 ab=2\left(-15\right)=-30$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

A solución é a parella que fornece a suma 7.

$$a=-3 b=10$$

Reescribe 2x^{2}+7x-15 como \left(2x^{2}-3x\right)+\left(10x-15\right).

$$\left(2x^{2}-3x\right)+\left(10x-15\right)$$

Factoriza x no primeiro e 5 no grupo segundo.

$$x\left(2x-3\right)+5\left(2x-3\right)$$

Factoriza o termo común 2x-3 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(2x-3\right)\left(x+5\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve 2x-3=0 e x+5=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$2x^{2}+7x-15=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 2, b por 7 e c por -15 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Eleva 7 ao cadrado.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Multiplica -4 por 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\left(-15\right)}}{2\times 2}$$

Multiplica -8 por -15.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+120}}{2\times 2}$$

Suma 49 a 120.

$$x=\frac{-7±\sqrt{169}}{2\times 2}$$

Obtén a raíz cadrada de 169.

$$x=\frac{-7±13}{2\times 2}$$

Multiplica 2 por 2.

$$x=\frac{-7±13}{4}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-7±13}{4} se ± é máis. Suma -7 a 13.

$$x=\frac{6}{4}$$

Reduce a fracción \frac{6}{4} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=\frac{3}{2}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-7±13}{4} se ± é menos. Resta 13 de -7.

$$x=-\frac{20}{4}$$

Divide -20 entre 4.

$$x=-5$$

A ecuación está resolta.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+7x-15=0$$

Suma 15 en ambos lados da ecuación.

$$2x^{2}+7x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Se restas -15 a si mesmo, quédache 0.

$$2x^{2}+7x=-\left(-15\right)$$

Resta -15 de 0.

$$2x^{2}+7x=15$$

Divide ambos lados entre 2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=\frac{15}{2}$$

A división entre 2 desfai a multiplicación por 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{15}{2}$$

Divide \frac{7}{2}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{7}{4}. Despois, suma o cadrado de \frac{7}{4} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{15}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{7}{4} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{15}{2}+\frac{49}{16}$$

Suma \frac{15}{2} a \frac{49}{16} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{169}{16}$$

Factoriza x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{13}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{13}{4}$$

Resta \frac{7}{4} en ambos lados da ecuación.

$$x=\frac{3}{2} x=-5$$