Resolver 2x^2+7x+5=0

$$2 x ^ { 2 } + 7 x + 5 = 0$$

Resolver x

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=-1$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 2x^{2}+ax+bx+5. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=7 ab=2\times 5=10$$

Dado que ab é positivo, a e b teñen o mesmo signo. Dado que a+b é positivo, a e b son os dous positivos. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto 10.

$$1,10 2,5$$

Calcular a suma para cada parella.

$$1+10=11 2+5=7$$

A solución é a parella que fornece a suma 7.

$$a=2 b=5$$

Reescribe 2x^{2}+7x+5 como \left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right).

$$\left(2x^{2}+2x\right)+\left(5x+5\right)$$

Factoriza 2x no primeiro e 5 no grupo segundo.

$$2x\left(x+1\right)+5\left(x+1\right)$$

Factoriza o termo común x+1 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x+1=0 e 2x+5=0.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 2, b por 7 e c por 5 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Eleva 7 ao cadrado.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 2\times 5}}{2\times 2}$$

Multiplica -4 por 2.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-8\times 5}}{2\times 2}$$

Multiplica -8 por 5.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2\times 2}$$

Suma 49 a -40.

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2\times 2}$$

Obtén a raíz cadrada de 9.

$$x=\frac{-7±3}{2\times 2}$$

Multiplica 2 por 2.

$$x=\frac{-7±3}{4}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-7±3}{4} se ± é máis. Suma -7 a 3.

$$x=-\frac{4}{4}$$

Divide -4 entre 4.

$$x=-1$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-7±3}{4} se ± é menos. Resta 3 de -7.

$$x=-\frac{10}{4}$$

Reduce a fracción \frac{-10}{4} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=-\frac{5}{2}$$

A ecuación está resolta.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+7x+5=0$$

Resta 5 en ambos lados da ecuación.

$$2x^{2}+7x+5-5=-5$$

Se restas 5 a si mesmo, quédache 0.

$$2x^{2}+7x=-5$$

Divide ambos lados entre 2.

$$\frac{2x^{2}+7x}{2}=-\frac{5}{2}$$

A división entre 2 desfai a multiplicación por 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=-\frac{5}{2}$$

Divide \frac{7}{2}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{7}{4}. Despois, suma o cadrado de \frac{7}{4} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{7}{4} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=-\frac{5}{2}+\frac{49}{16}$$

Suma -\frac{5}{2} a \frac{49}{16} mediante a busca dun denominador común e a suma dos numeradores. Despois, se é posible, reduce a fracción aos termos máis baixos.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{9}{16}$$

Factoriza x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{9}{16}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{16}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{3}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{3}{4}$$

Resta \frac{7}{4} en ambos lados da ecuación.

$$x=-1 x=-\frac{5}{2}$$