Resolver 2x^2+3x-90=0

$$2 x ^ { 2 } + 3 x - 90 = 0$$

Resolver x

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7.5$$

$$x=6$$

Pasos que usan factorización mediante agrupamento

Para resolver a ecuación, factoriza o lado esquerdo mediante agrupamento. Primeiro, lado esquerdo ten que volver escribirse como 2x^{2}+ax+bx-90. Para atopar a e b, configura un sistema para resolver.

$$a+b=3 ab=2\left(-90\right)=-180$$

Dado que ab é negativo, a e b teñen signos opostos. Dado que a+b é positivo, o número positivo ten maior valor absoluto que o negativo. Pon na lista todos eses pares enteiros que dan produto -180.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Calcular a suma para cada parella.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

A solución é a parella que fornece a suma 3.

$$a=-12 b=15$$

Reescribe 2x^{2}+3x-90 como \left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right).

$$\left(2x^{2}-12x\right)+\left(15x-90\right)$$

Factoriza 2x no primeiro e 15 no grupo segundo.

$$2x\left(x-6\right)+15\left(x-6\right)$$

Factoriza o termo común x-6 mediante a propiedade distributiva.

$$\left(x-6\right)\left(2x+15\right)$$

Para atopar as solucións de ecuación, resolve x-6=0 e 2x+15=0.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

Pasos que usan a fórmula cadrática

Todas as ecuacións na forma ax^{2}+bx+c=0 pódense resolver coa fórmula cadrática: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. A fórmula cadrática fornece dúas solucións, unha cando ± é suma e outra cando é resta.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Esta ecuación ten unha forma estándar: ax^{2}+bx+c=0. Substitúe a por 2, b por 3 e c por -90 na fórmula cadrática, \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Eleva 3 ao cadrado.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 2\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Multiplica -4 por 2.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-8\left(-90\right)}}{2\times 2}$$

Multiplica -8 por -90.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+720}}{2\times 2}$$

Suma 9 a 720.

$$x=\frac{-3±\sqrt{729}}{2\times 2}$$

Obtén a raíz cadrada de 729.

$$x=\frac{-3±27}{2\times 2}$$

Multiplica 2 por 2.

$$x=\frac{-3±27}{4}$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-3±27}{4} se ± é máis. Suma -3 a 27.

$$x=\frac{24}{4}$$

Divide 24 entre 4.

$$x=6$$

Agora resolve a ecuación x=\frac{-3±27}{4} se ± é menos. Resta 27 de -3.

$$x=-\frac{30}{4}$$

Reduce a fracción \frac{-30}{4} a termos máis baixos extraendo e cancelando 2.

$$x=-\frac{15}{2}$$

A ecuación está resolta.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$

Pasos para completar o cadrado

As ecuacións cadráticas coma esta pódense resolver completando o cadrado. Para completar o cadrado, a ecuación debe estar na forma x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+3x-90=0$$

Suma 90 en ambos lados da ecuación.

$$2x^{2}+3x-90-\left(-90\right)=-\left(-90\right)$$

Se restas -90 a si mesmo, quédache 0.

$$2x^{2}+3x=-\left(-90\right)$$

Resta -90 de 0.

$$2x^{2}+3x=90$$

Divide ambos lados entre 2.

$$\frac{2x^{2}+3x}{2}=\frac{90}{2}$$

A división entre 2 desfai a multiplicación por 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=\frac{90}{2}$$

Divide 90 entre 2.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x=45$$

Divide \frac{3}{2}, o coeficiente do termo x, entre 2 para obter \frac{3}{4}. Despois, suma o cadrado de \frac{3}{4} en ambos lados da ecuación. Este paso converte o lado esquerdo da ecuación nun cadrado perfecto.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}=45+\left(\frac{3}{4}\right)^{2}$$

Eleva \frac{3}{4} ao cadrado mediante a elevación ao cadrado do numerador e do denominador da fracción.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=45+\frac{9}{16}$$

Suma 45 a \frac{9}{16}.

$$x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{729}{16}$$

Factoriza x^{2}+\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. En xeral, cando x^{2}+bx+c é un cadrado perfecto, sempre se pode factorizar como \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{729}{16}$$

Obtén a raíz cadrada de ambos lados da ecuación.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{16}}$$

Simplifica.

$$x+\frac{3}{4}=\frac{27}{4} x+\frac{3}{4}=-\frac{27}{4}$$

Resta \frac{3}{4} en ambos lados da ecuación.

$$x=6 x=-\frac{15}{2}$$